Bài toàn gì khó quá pà con ơi

[nobita_kupi_py]

\[\left{ \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y \\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3\]

can gap lam hihi

 

[Zun Đất]

Ta có: \[\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{4}\Rightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\geq \left | \frac{x+y}{2} \right |\].
\[\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}\geq \frac{(x+y)^{2}}{4}\Rightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\geq \left | \frac{x+y}{2} \right |\].
Suy ra:\[\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\geq \left | x+y \right |\geq x+y\]. Nên PT (1) xảy ra khi x=y.
Thế vào (2) với ĐK \[x\geq 0\].
\[x\sqrt{2x^{2}+5x+3}=4x^{2}-5x-3\Leftrightarrow 2x^{2}+5x+3+x\sqrt{2x^{2}+5x+3}-6x^{2}=0\].
\[\Leftrightarrow (\sqrt{2x^{2}+5x+3}+3x)(\sqrt{2x^{2}+5x+3}-2x)=0\].
Kết hợp với ĐK:\[ x\geq 0\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+5x+3}+3x> 0\Rightarrow \sqrt{2x^{2}+5x+3}-2x=0\]
\[\Rightarrow 2x^{2}+5x+3=4x^{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-5x-3=0, DK x\geq 0\Rightarrow x=3\Rightarrow x=y=3\].

 

[nobita_kupi_py]

cảm ơn bạn nhiều lắm