Đấu trường bất đẳng thức!!!!

[son93]

BÀI TIP NHÉ :
1, cho 2 số dương thỏa mãn : \[x+y = \frac{2007}{2006} \]

CM : \[S = \frac{2006}{x} + \frac{1}{2006y} \geq 2007\]

Không khó! Sơn làm:
\[S = \frac{1}{x} +\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}+ \frac{1}{2006y} \geq \frac{2007^2}{2006(x+y)}=2007\]
*lưu ý có 2006 lần \[\frac{1}{x}\] cộng với nhau*

 

[son93]

Quên, dấu bằng khi \[x=1\] và \[y=\frac{1}{2006}\]

 

[kuta tutu]

1, CMR : nếu a,b,c > 0 và abc = 1

thì \[\frac{1}{2+a} + \frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+c} \leq 1\]

 

[khanhsy]

1, CMR : nếu a,b,c > 0 và abc = 1

thì \[\frac{1}{2+a} + \frac{1}{2+b} + \frac{1}{2+c} \leq 1\]

\[\leftrightarrow 12+4(a+b+c)+ab+bc+ca\le 8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc\]

\[\leftrightarrow 12\le 9+ab+bc+ca\]

Nó thì luôn đúg

 

[kuta tutu]

1, cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \[ab+bc+ca \geq 1 \]

CM : \[ A = \frac{a^3}{b^2+1} + \frac{b^3}{c^2+1} + \frac{c^3}{a^2+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}\]

 

[Bad]

Ch/m với mọi a

b > 0 thì :

Bài này thầy tớ dùng tăng giảm để giải nhưng mà mình vẫn thấy nó sao sao ấy, bạn nào có cách giải khác post lên mình xem được ko

 

[kuta tutu]

Ch/m với mọi a

b > 0 thì :

Bài này thầy tớ dùng tăng giảm để giải nhưng mà mình vẫn thấy nó sao sao ấy, bạn nào có cách giải khác post lên mình xem được ko

BđT<=>\[ (1+4^a)^b \leq (1+4^b)^a\]

<=>\[ bln(1+4^a) \leq aln(1+4^b)\]

<=> \[\frac{ln(1+4^a}{a} \leq \frac{ln(1+4^b}{b} \]

xet ham số : \[y= f(x) = \frac{ln(1+4^x}{x} (x>0) \]

tính \[y'\] thấy rằng \[y' < o \]

vậy hàm số nghịh biến với mọi x>0

do đó từ \[a \geq b > o => f(a) \leq f(b)\] => đpcm

 

[Bad]

BđT<=>\[ (1+4^a)^b \leq (1+4^b)^a\]

<=>\[ bln(1+4^a) \leq aln(1+4^b)\]

<=> \[\frac{ln(1+4^a}{a} \leq \frac{ln(1+4^b}{b} \]

xet ham số : \[y= f(x) = \frac{ln(1+4^x}{x} (x>0) \]

tính \[y'\] thấy rằng \[y' < o \]

vậy hàm số nghịh biến với mọi x>0

do đó từ \[a \geq b > o => f(a) \leq f(b)\] => đpcm

Cái này biết oài =.= híc vậy bài này không còn cách khác nữa à?

 

[kuta tutu]

bài 1 : cho \[a,b,c>0\] và \[a+b+c \geq 6\] .CM:

\[S = \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\]

 

[thanhhitachi94]

Giả sử a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c =1 .Chứng minh rằng:

\[\frac{1}{\sqrt{a^2 + ab + b^2}} + \frac{1}{\sqrt{b^2 + bc + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2+ ca + a^2 }} \geq 4 + \frac{2}{ \sqrt{3} }\]

ựa....gõ tex mỏi quá....em hok bit trên diễn đàn mình có bảng gõ hok ấy nhỉ....e chả thấy đâu hjx....mỏi hết tay!!!!!!:canny::canny::canny::canny:

 

[thanhhitachi94]

bài 1 : cho \[a,b,c>0\] và \[a+b+c \geq 6\] .CM:

\[S = \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\]

Bài jải:

Xác định điểm rơi:

\[ a = b = c = 2 \Rightarrow \left{ a ^2 = b ^2 = c^2 = 4 \\ \frac{1}{ \alpha * a^2 } = \frac{1}{\alpha *b^2} = \frac{1}{\alpha * c^2 } = \frac{1}{4*\alpha} }

\Longrightarrow \alpha = \frac{1}{16}\]
\[\Longrightarrow S = \sqrt{ a^2 + \frac{ 16} {b^2} } + \sqrt{ b^2 + \frac{ 16} {c^2} } + \sqrt{ c^2 + \frac{ 16} {a^2} } \]

từ đó áp dụng bất đẳng thức cô Si cho từng cặp một....ta được điều phải chứng minh!!!!!!!!!!!! OK!!
)))))))

 

[khanhsy]

Bài jải:

Xác định điểm rơi:

\[ a = b = c = 2 \Rightarrow \left{ a ^2 = b ^2 = c^2 = 4 \\ \frac{1}{ \alpha * a^2 } = \frac{1}{\alpha *b^2} = \frac{1}{\alpha * c^2 } = \frac{1}{4*\alpha} }\]\[

\Longrightarrow \alpha = \frac{1}{16}\]
\[\Longrightarrow S = \sqrt{ a^2 + \frac{ 16} {b^2} } + \sqrt{ b^2 + \frac{ 16} {c^2} } + \sqrt{ c^2 + \frac{ 16} {a^2} } \]

từ đó áp dụng bất đẳng thức cô Si cho từng cặp một....ta được điều phải chứng minh!!!!!!!!!!!! OK!!
)))))))

Cái thằng trên nói không đúng mô tê gì hết :burn_joss_stick: ai có chức năng Del thì Delete nó đi :byebye:

 

[khanhsy]

Không hiểu thì chú bày cho , phát biểu linh tinh.
Chú ý đẳng thức xảy ra tại tâm nên ta có cặp tỉ lệ \[\(x^2:\frac{1}{y^2}\)=\(4:\frac{1}{4}\)=\(16:1\)\] Do đó ta có lời giải sau đây ( chọn 1 cho nó nguyên dễ trình bày)

\[\blue \(16+1\) \(x^2+\frac{1}{y^2}\)\ge \(4x+\frac{1}{y}\)^2\]

\[\red\righ \sum_{cyclic}\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge \frac{\(\frac{1}{4}+\frac{15}{4}\)\(x+y+z\)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{\sqrt{17}}\ge \frac{3+\frac{15}{4}\(x+y+z\) }{\sqrt{17}}\ge \frac{3\sqrt{17}}{2} \]

 

[kuta tutu]

1, cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 .CM

\[A = \frac{a}{\sqrt{1-a}}+ \frac{b}{\sqrt{1-b}}+ \frac{c}{\sqrt{1-c}} \geq \frac{\sqrt{6}}{2}\]

 

[son93]

1, cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1 .CM

\[A = \frac{a}{\sqrt{1-a}}+ \frac{b}{\sqrt{1-b}}+ \frac{c}{\sqrt{1-c}} \geq \frac{\sqrt{6}}{2}\]

\[\sqrt{\frac{2}{3}(1-a)}=\sqrt{\frac{2}{3}(b+c)}\]
\[\frac{2}{3}+b+c \geq 2\sqrt{\frac{2}{3}(b+c)}\]
tương tự ta có
\[\sqrt{\frac{3}{2}}A \geq \frac{2a}{\frac{2}{3}+b+c}+ \frac{2b}{\frac{2}{3}+a+c}+ \frac{2c}{\frac{2}{3}+b+a}\]
\[=\frac{2a^2}{\frac{2a}{3}+ab+ac}+ \frac{2b^2}{\frac{2b}{3}+ab+cb}+ \frac{2c^2}{\frac{2c}{3}+cb+ac}\]
\[ \geq \frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)}{3}+2(ab+ac+bc)} \geq \frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)}{3}+\frac{2(a+b+c)^2}{3}}\]
Đến đây là xong rồi. Bài toán trên mình dùng bất đẳng thức Cosy và BNA.

 

[khanhsy]

Mấy cái dạng này mình đâu cần suy nghĩ em . Anh nhắm mắt là ra cách giải liền ( Nỗ thôi nha :byebye.

Nếu như bài không chặt ( Đa số là không chặt) thị ta dễ thấy rằng

\[f(x)\ge f'(x_0)\(x-x_0)+f(x_0)\]

Trong đó \[x_0\] là điểm tới hạn của bất đẳng thức chúng ta

Em có thể coi tại đây https://book.mathvn.com/2010/08/fermat-tangent.html

 

[thanhhitachi94]

Không hiểu thì chú bày cho , phát biểu linh tinh.
Chú ý đẳng thức xảy ra tại tâm nên ta có cặp tỉ lệ \[\(x^2:\frac{1}{y^2}\)=\(4:\frac{1}{4}\)=\(16:1\)\] Do đó ta có lời giải sau đây ( chọn 1 cho nó nguyên dễ trình bày)

\[\blue \(16+1\) \(x^2+\frac{1}{y^2}\)\ge \(4x+\frac{1}{y}\)^2\]

\[\red\righ \sum_{cyclic}\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge \frac{\(\frac{1}{4}+\frac{15}{4}\)\(x+y+z\)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{\sqrt{17}}\ge \frac{3+\frac{15}{4}\(x+y+z\) }{\sqrt{17}}\ge \frac{3\sqrt{17}}{2} \]

ựa....cái bài trên em làm theo pp xác định điểm rơi....do đó em viết ngắn gọn xúc tích thôi!!!! thế mà bảo là sai hả~~~~

 

[kuta tutu]

ựa....cái bài trên em làm theo pp xác định điểm rơi....do đó em viết ngắn gọn xúc tích thôi!!!! thế mà bảo là sai hả~~~~

uk! em hướng làm không phải là sai nhưng làm thế chưa chính xác !

 

[kuta tutu]

tiếp 1 bài để các ban tham khảo nhé :

1, cho \[a,b,c > 0 \] thoả mãn \[a+b+c+\sqrt{2abc} \geq 10 \].CMR

\[S = \sqrt{\frac{8}{a^2} + \frac{9b^2}{2} + \frac{c^2a^2}{4}} + \sqrt{\frac{8}{b^2} + \frac{9c^2}{2} + \frac{b^2a^2}{4}} + \sqrt{\frac{8}{c^2} + \frac{9a^2}{2} + \frac{c^2b^2}{4}} \geq 6\sqrt{6}\]

 

[thuhai]

Dùng BDT cosi CM được VT

kái này hình như không đúng thì phải