Đại 7: Phương pháp tìm x trong giải toán trị tuyệt đối

[Thandieu2]

TOÁN 7: PHƯƠNG PHÁP TÌM X TRONG GIẢI TOÁN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ​

Xem thêm: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Quy ước.

A(x); B(x) .. là các biểu thức chứa x.

A; B; ... là các giá trị số.

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ LÀ MỘT SỐ KHÔNG ÂM

Ta đi xét các dạng toán tìm x trong giá trị tuyệt đối thường gặp:


DẠNG I: \[\left|A(x) \right| = B\]

DẠNG I: |A(x)| = B


​

Trường hợp 1: Nếu B < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Ví dụ 1: Tìm x biết:

\[\left|2x+3 \right| = -5\]

Nhận xét: -5 < 0 nên không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 2: Nếu B = 0 thì ta xét A(x) = 0

Ví dụ 2: Tìm \[\left|2x+3 \right| = 0\]

\[2x + 3 = 0\]

\[2x = -3\]

\[x = \frac{-3}{2}\]

Vậy \[x = \frac{-3}{2}\]

Trường hợp 3: Nếu B > 0 ta xét 2 trường hợp: A(x) = B hoặc A(x) = -B

Ví dụ 3: Tìm x biết \[\left|2x+3 \right| = 5\]

TH1: \[2x+3 = 5\]

\[2x = 5 - 3\]

\[2x = 2\]

\[x = 1\]

TH2: \[2x+3 = -5\]

\[2x = -5 - 3\]

\[2x = -8\]

\[x = -4\]

Kết luận: vậy x = 1 hoặc x = 4

Mở rộng dạng toán của trường hợp 3: \[\left|A(x) \right|=\left|B \right|\]

Ví dụ mở rộng: Tìm x biết \[\left|2x+3 \right| = \left|-5 \right|\]

Giải tương tự với \[\left|2x+3 \right| = 5 \]

Đã xét ở ví dụ 3

 

[Thandieu2]

|A(x)| = B(x)

Dạng 2: |A(x)| = B(x)

​

Dạng 2: |A(x)| = B(x)

Cách 1: Xét B(x)

1: Trường hợp 1: Nếu B(x) < 0. Không có giá trị nào của x thỏa mãn bài toán vì giá trị tuyệt đối của một số không âm.

2. Trường hợp 2: Đặt điều kiện \[B(x) \geq 0\]

Xét 2 trường hợp |A(x)| = B(x) hoặc |A(x)| = - B(x). Lưu ý: Khi giải xong phải đối chiếu lại với điều kiện của x khi \[B(x) \geq 0\]

Cách 2: Xét A(x). Làm như khái niệm.

Nếu \[A(x) \geq 0\], thì |A(x)| = A(x).
Đưa bài toán về A(x) = B(x). Giải xong kết hợp với điều kiện của x khi xét \[A(x) \geq 0\]


Nếu A(x) < 0 thì |A(x)| = -A(x).
Đưa bài toán về -A(x) = B(x). Giải xong kết hợp với điều kiện của x khi xét A(x) < 0.

Ví dụ minh họa:

Tìm x biết |2x+3| = x - 7.

Giải:

Cách 1:

Nếu \[x - 7 < 0\] hay \[x < 7\] thì không có giá trị nào của x thỏa mãn bài toán.

Nếu \[x - 7 \geq 0 \]hay \[x \geq 7\]. Ta có:

TH1: \[2x + 3 = x - 7\]

\[2x - x = -7 - 3\]

\[x = -10\]

TH2: \[2x + 3 = -(x-7)\]

\[2x + 3 = -x + 7\]

\[2x + x = 7 - 3\]

\[3x = 4\]

\[x = \frac{4}{3}\]

Kết hợp với điều kiện \[x \geq 7\]. Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn bài toán.

Cách 2: Nếu \[2x + 3 \geq 0\] hay \[x \geq \frac{-3}{2}\]

Thì |2x + 3| = 2x + 3.

Ta có |2x + 3| = x - 7

Tương đương 2x + 3 = x - 7

x = -10. (loại do \[x \geq \frac{-3}{2}\] )

Nếu \[2x + 3 < 0 \] hay \[x < \frac{-3}{2}\]

Ta có |2x + 3| =-(2x + 3) = -2x - 3

Lúc này |2x + 3| = x - 7

Tương đương -2x - 3 = x - 7

3x = 4

x = 4/3 (loại vì \[x < \frac{-3}{2}\])

Kết luận chung: Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

[Thandieu2]

|A(x)| = |B(x)|

DẠNG 3: |A(x)| = |B(x)|​

DẠNG 3: |A(x)| = |B(x)|

Dạng này mở rộng của dạng |A(x)| = B(x)

Dạng toán này không phải đặt điều kiện vì giá trị tuyệt đối luôn dương.
Xét 2 trường hợp: A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)

Bài tập ví dụ:

Tìm x biết |3x - 2| = |x+2|

Giải:

Trường hợp 1:

\[3x - 2 = x + 2\]

\[2x = 4\]

\[x = 2\]

Trường hợp 2:

\[3x - 2 = - (x + 2)\]

\[3x - 2 = - x - 2\]

\[4x = 0\]

\[x = 0\]

Kết luận: Vậy với x = 2 hoặc x = 0 thỏa mãn điều kiện bài toán.

 

[Thandieu2]

|A(x)| + |B(x)| + |C(x)| .... = D

DẠNG 4: |A(x)| + |B(x)| + |C(x)| .... = D
​

DẠNG 4: |A(x)| + |B(x)| + |C(x)| .... = D



Nếu \[D < 0 \] thì không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện đề toán.

Nếu \[D \geq \] ta lập bảng xét dấu của A(x); B(x); C(x)

Mở rộng dạng 4 (1): |A(x)| + |B(x)| -|C(x)| + E(x) - F(x) .... = K

Bài toán này ta giải bằng cách lập bảng xét dấu của A(x); B(x); C(x). ...... (không quan tâm đến K = 0; K<0 hay K > 0 vì phép toán có cả phép cộng và phép trừ)

HƯỚNG DẪN GIẢI VỚI HỌC SINH LỚP 7 - CƠ BẢN VỚI A(X) = ax + b

Cho \[A(x) = 0\].

\[ax + b = 0 \Rightarrow x =\frac{-b}{a} \]
Tương tự với B(x) và lập bảng xét dấu, giá trị đi được viết theo thứ tự tăng dần.

Ví dụ xét dấu của A(x) = ax + b

Ta lập bảng xét dấu

x _________________\[\frac{-b}{a}\]____________

A(x) trái dấu với a____ \[0\] __cùng dấu với a

(Dạng toán này ngày trước thầy cô giáo mình gọi một câu dễ nhớ đó là: PHẢI CÙNG - TRÁI TRÁI {bên phải cùng dấu với a, bên trái trái dấu với a}

Sau đó xét từng khoảng để tính toán. Giải và xét với điều kiện x của khoảng đang xét.

Để cụ thể hơn ta đi vào bài toán

Ví dụ: Tìm x biết

|-x + 1| + |2x - 6| = 5

Giải:

Cho -x + 1 = 0 thì x = 1

Cho 2x - 6 = 0 thì x = 3

Bảng xét dấu:

(Lưu ý: Để ý dấu của -x+1: bên phải cùng là dấu (-), bên trái trái là dấu (+)
dấu của 2x + 6: bên phải cùng là dấu (+), bên trái trái là dấu (-).

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có 3 trường hợp đó là

Trường hợp 1: \[x < 1\];

Trường hợp 2: \[1\leq x\leq 3\]

Trường hợp 3: \[x > 3\]

TH1: -x + 1 + [-(2x - 6)] = 5
TH2: - (-x + 1) + [-(2x - 6)] = 5
TH3: -(-x + 1) + (2x - 6) = 5

Tự giải và đối chiếu với điều kiện x của từng trường hợp.

Mở rộng dạng 4 (2): |A(x)| + |B(x)| -|C(x)| + E(x) - F(x) .... = K(x)

Giải tương tự bằng cách lập bảng xét dấu.