Chứng minh rằng: A = 0,5 (2007[SUP]2005[/SUP]-2003[SUP]2003[/SUP]) là một số nguyên
Nhận xét: Lũy thừa bậc n của 1 luôn là chính nó.
Lũy thừa bậc n của một số có tận cùng là 1 luôn có tận cùng là 1.
Lũy thừa bậc 4 của một số tận cùng là 7 có tận cùng là 1
Lũy thừa bậc 4 của một số tận cùng là 3 có tận cùng là 1
.....1 x .....1 x ....1 x .....1 = ......1(Với x là dấu nhân)
....7 x ....7 x......7 x.....7 = ........1 (Với x là dấu nhân)
....3 x ....3 x......3 x.....3 = ........1 (Với x là dấu nhân)
Lũa thừa bậc 3 của một số có tận cùng là 3 có tận cùng là 7
....3 x ....3 x .....3 = ........7
Số có tận cùng là 1 nhân với một số có tận cùng là a thì kết quả được một số có tận cùng là a.
Vậy áp dụng vào bài toán này ta có:
\[2007^{2005} = 2007^{4.501+1} = (2007^{4})^{501}.2007\]
\[2003^{2003} = 2003^{4.500 + 3} = (2003^{4})^{500}.2003^{3}\]
\[(2007^{4})^{501}\] có tận cùng là 1
\[(2003^{4})^{500}\] có tận cùng là 1
\[2003^{3}\] có tận cùng là 7
Từ đó ta có.
\[2007^{2005} = 2007^{4.501+1} = (2007^{4})^{501}.2007\] có tận cùng là 7
\[2003^{2003} = 2003^{4.500 + 3} = (2003^{4})^{500}.2003^{3}\] có tận cùng là 7.
Vậy hiệu A = \[2007^{2005} - 2003^{2003}\] có tận cùng là 0.
SỐ có tận cùng là 0 thì chia hết cho 2.
Vậy A là một số nguyên (nguyên dương)
