Xét tính bị chặn của dãy số

[muahoatuyet]

xét tính bị chặn của dãy số xác định bởi:
u[SUB]1=[/SUB]

u[SUB]n[/SUB]= \[\sqrt{2+u_{n-1}}\]

(n>=2)

 

[NguoiDien]

xét tính bị chặn của dãy số xác định bởi:
u[SUB]1=[/SUB]

u[SUB]n[/SUB]=

(n>=2)

Dễ thấy \[u_{n}<2\]. Ta có thể chứng minh điều này bằng quy nạp:

Với \[n=1\] thì \[u_{1}=\sqrt{2}<2\] nên khẳng định là đúng.

Giả sử khẳng định đúng với \[n=k\] (\[k\geq 1\]) nghĩa là \[u_{k}<2\].

Khi đó ta phải chứng minh khẳng định đúng với \[n=k+1\] tức là \[u_{k+1}<2\].

Thật vậy ta có:

\[u_{k+1}=\sqrt{2+u_{k}}<\sqrt{2+2}=2\] (do \[u_{k}<2\])

Vậy \[u_{n}<2\] với mọi \[n\in N^{*}\]

Mặt khác \[u_{n}=\sqrt{2+u_{n-1}}\] nên \[u_{n}>0\]

Vậy \[0<u_{n}<2\] với mọi \[n\in N^{*}\]. Do đó dãy bị chặn.