Bài toán I:
\[I=\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+3)}dx\]
Giả sử \[\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}+\dfrac{C}{x+3}\]
Bằng phương phá đồng nhất thức ta có hệ: \[\begin{cases}A+C=1 \\ B-2A+2C=0 \\ A+3B-3C=1\end{cases}\]
Giải hệ trên ta được: \[\begin{cases}A=\dfrac{5}{8} \\ B=\dfrac{1}{2} \\ C=\dfrac{3}{8}\end{cases}\] Khi đó: \[I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+3)}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \dfrac{5}{8(x-1)}+\dfrac{1}{2(x-1)^{2}}+\dfrac{3}{x+3}\right) dx\]
\[=\dfrac{5}{8}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{1-x}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{(x-1)^{2}}+\dfrac{3}{8}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{x+3}\]
Đến đây coi như giải quyết xong bài toán.
\[I=\int\limits_{0}^{\dfrac{1}{2}}\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+3)}dx\]
Giả sử \[\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^{2}}+\dfrac{C}{x+3}\]
Bằng phương phá đồng nhất thức ta có hệ: \[\begin{cases}A+C=1 \\ B-2A+2C=0 \\ A+3B-3C=1\end{cases}\]
Giải hệ trên ta được: \[\begin{cases}A=\dfrac{5}{8} \\ B=\dfrac{1}{2} \\ C=\dfrac{3}{8}\end{cases}\] Khi đó: \[I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+3)}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left( \dfrac{5}{8(x-1)}+\dfrac{1}{2(x-1)^{2}}+\dfrac{3}{x+3}\right) dx\]
\[=\dfrac{5}{8}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{1-x}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{(x-1)^{2}}+\dfrac{3}{8}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{x+3}\]
Đến đây coi như giải quyết xong bài toán.
