1. Vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện \[ABCD\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây:
a) \[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}\]
b) \[ \forall M: \quad \vec{MG}=\frac{1}{4}\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\right)\].
Giải
Nếu gọi \[P,Q\] lần lượt là trung điểm của hai cạnh \[AB,CD\] thì:
\[\vec{GA}+\vec{GB}=2\vec{GP};\quad\vec{GC}+\vec{GD}=2\vec{GQ}\]
a) Ta có:
\[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=2\left(\vec{GP}+\vec{GQ}\right)=\vec{0}\]
\[\Leftrightarrow G\] là trung điểm của đoạn \[PQ\] hay \[G\] là trọng tâm của tứ diện \[ABCD\]
b) Với:
\[\forall M\Rightarrow \vec{MA}=\vec{MG}+\vec{GA};\quad \vec{MB}=\vec{MG}+\vec{GB};\quad\vec{MC}=\vec{MG}+\vec{GC};\quad\vec{MD}=\vec{MG}+\vec{GD}\].
Do:
\[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}\]
Nên:
\[\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MG}+( \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD})\]
\[=4\vec{MG}+\vec{0}=4\vec{MG}\]
Hay \[\vec{MG}=\frac{1}{4}\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\] .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.
Giải
Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì \[A,B,C,D\] trong không gian, ta đều có :
\[\vec{AB}.\vec{CD}+\vec{BC}.\vec{DA}+\vec{CA}.\vec{DB}=0\qquad (1)\]
Thật vậy
\[\vec{AB}.\vec{CD}=\left(\vec{DB}-\vec{DA}\right).\vec{DC}=\vec{DB}.\vec{DC}-\vec{DA}.\vec{DC}\]
\[\vec{BC}.\vec{DA}=\left(\vec{DC}-\vec{DB}\right).\vec{DA}=\vec{DC}.\vec{DA}-\vec{DB}.\vec{DA}\]
\[\vec{CA}.\vec{DB}=\left(\vec{DA}-\vec{DC}\right).\vec{DB}=\vec{DA}.\vec{DB}-\vec{DC}.\vec{DB}\]
Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức (1).
Bây giờ ta giả sử tứ diện \[A,B,C,D\] có \[AD\bot CD;\quad AC\bot BD\]
\[\Rightarrow \vec{AB}.\vec{CD}=\vec{0};\quad \vec{CA}.\vec{DB}=\vec{0}\Rightarrow \vec{BC}.\vec{DA}=\vec{0}\] (theo (1))
Ví dụ 3. Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], \[M,N\] lần lượt là trung điểm của hai cạnh \[AD,BB'\].
a) Chứng minh rằng \[MN\bot A'C\]
b) Tìm \[cos\] của góc hợp bởi hai đường thẳng \[MN,A'C\]
Giải
Gọi \[a\] là cạnh của hình lập phương
a) Ta có :
\[\vec{MN}=\vec{MA'}+\vec{A'B}+\vec{BN}\]
\[\vec{A'C}=\vec{A'A}+\vec{AB}+\vec{BC}\] .
Vậy:
\[\vec{MN}.\vec{A'C}=\left(\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\right) .\left(\vec{A'A}+\vec{AB}+\vec{BC}\right)\]
Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng bằng 0 nên:
\[\vec{MN}.\vec{A'C}=\vec{MA}.\vec{BC}+AB^2+\vec{BN}.\vec{A'A}=-MA.BC+AB^2-BN.AA'=-\frac{a^2}{2}+a^2-\frac{a^2}{2}=0\]
\[\Rightarrow MN\bot A'C\].
b) Gọi:
\[\phi\] là góc hợp bởi \[\vec{MN}\] và \[\vec{A'C}\].
Ta có:
\[\vec{MN}.\vec{AC'}=MN.AC'.cos\phi\quad (1)\]
Mặt khác ta có :
\[\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\]
\[\vec{AC'}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CC'}\]
Nên:
\[\vec{MN}.\vec{AC'}=\left( \vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\right) .\left( \vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CC'}\right)\]
\[=\vec{MN}.\vec{BC}+\vec{AB}^2+\vec{BN}.\vec{CC'}\]
\[=-\frac{a^2}{2}+a^2+\frac{a^2}{2}=a^2\].
Mặt khác:
\[MN^2=\vec{MN}^2=\left(\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\right) ^2=MA^2+AB^2+BN^2\] \[=\frac{a^2}{4}+a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{2}\]
\[\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{6}}{2}\]
Ngoài ra ta có: \[AC'=a\sqrt{3}\]
Thay vào (1) ta có:
\[a^2=\frac{a\sqrt{6}}{2}.a\sqrt{3}.cos\phi\Rightarrow cos\phi=\frac{\sqrt{2}}{3}\]
3. Vectơ đồng phẳng
Định nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ
\[\vec{OA}=\vec{a};\quad \vec{OB}=\vec{b};\quad \vec{OC}=\vec{c}\]
thì ba vectơ \[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\] đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm \[O,A,B,C\]nằm trên cùng một phẳng.
Định lí 1. Cho 3 vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] trong đó \[\vec{a},\vec{b}\] không đồng thời đồng phương.
Khi đó ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số \[k,l\] sao cho:
\[\vec{c}=k\vec{a}+l\vec{b}\].
Định lí 2. Nếu \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] là ba vectơ không đồng phẳng thì với mọi vectơ \[\vec{x}\] ta đều có:
\[\vec{x}=k\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c}\]
trong đó bộ ba số\[k,l,m\] là duy nhất.
Tags: hinh hoc khong gian, hình học không gian 12, hinh khong gian, hình không gian, vecto, hình học vecto
Khái niệm vectơ trong không gian và những phép toán trên nó đều được định nghĩa hoàn toàn giống như lớp 10. Đó là những khái niệm : vectơ, các vectơ cùng phương, các vectơ cùng hướng, độ dài vectơ, vectơ bằng nhau, phép cộng phép trừ vectơ và các tính chất, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng. Dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ áp dụng vào vectơ trong không gian.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tứ diện \[ABCD\] khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây:
a) \[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}\]
b) \[ \forall M: \quad \vec{MG}=\frac{1}{4}\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\right)\].
Giải
Nếu gọi \[P,Q\] lần lượt là trung điểm của hai cạnh \[AB,CD\] thì:
\[\vec{GA}+\vec{GB}=2\vec{GP};\quad\vec{GC}+\vec{GD}=2\vec{GQ}\]
a) Ta có:
\[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=2\left(\vec{GP}+\vec{GQ}\right)=\vec{0}\]
\[\Leftrightarrow G\] là trung điểm của đoạn \[PQ\] hay \[G\] là trọng tâm của tứ diện \[ABCD\]
b) Với:
\[\forall M\Rightarrow \vec{MA}=\vec{MG}+\vec{GA};\quad \vec{MB}=\vec{MG}+\vec{GB};\quad\vec{MC}=\vec{MG}+\vec{GC};\quad\vec{MD}=\vec{MG}+\vec{GD}\].
Do:
\[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}\]
Nên:
\[\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MG}+( \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD})\]
\[=4\vec{MG}+\vec{0}=4\vec{MG}\]
Hay \[\vec{MG}=\frac{1}{4}\left(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\] .
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc.
Giải
Trước hết ta chứng minh rằng với 4 điểm bất kì \[A,B,C,D\] trong không gian, ta đều có :
\[\vec{AB}.\vec{CD}+\vec{BC}.\vec{DA}+\vec{CA}.\vec{DB}=0\qquad (1)\]
Thật vậy
\[\vec{AB}.\vec{CD}=\left(\vec{DB}-\vec{DA}\right).\vec{DC}=\vec{DB}.\vec{DC}-\vec{DA}.\vec{DC}\]
\[\vec{BC}.\vec{DA}=\left(\vec{DC}-\vec{DB}\right).\vec{DA}=\vec{DC}.\vec{DA}-\vec{DB}.\vec{DA}\]
\[\vec{CA}.\vec{DB}=\left(\vec{DA}-\vec{DC}\right).\vec{DB}=\vec{DA}.\vec{DB}-\vec{DC}.\vec{DB}\]
Cộng ba đẳng thức trên ta được đẳng thức (1).
Bây giờ ta giả sử tứ diện \[A,B,C,D\] có \[AD\bot CD;\quad AC\bot BD\]
\[\Rightarrow \vec{AB}.\vec{CD}=\vec{0};\quad \vec{CA}.\vec{DB}=\vec{0}\Rightarrow \vec{BC}.\vec{DA}=\vec{0}\] (theo (1))
Ví dụ 3. Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], \[M,N\] lần lượt là trung điểm của hai cạnh \[AD,BB'\].
a) Chứng minh rằng \[MN\bot A'C\]
b) Tìm \[cos\] của góc hợp bởi hai đường thẳng \[MN,A'C\]
Giải
Gọi \[a\] là cạnh của hình lập phương
a) Ta có :
\[\vec{MN}=\vec{MA'}+\vec{A'B}+\vec{BN}\]
\[\vec{A'C}=\vec{A'A}+\vec{AB}+\vec{BC}\] .
Vậy:
\[\vec{MN}.\vec{A'C}=\left(\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\right) .\left(\vec{A'A}+\vec{AB}+\vec{BC}\right)\]
Với chú ý rằng hai vectơ vuông góc với nhau có tích vô hướng bằng 0 nên:
\[\vec{MN}.\vec{A'C}=\vec{MA}.\vec{BC}+AB^2+\vec{BN}.\vec{A'A}=-MA.BC+AB^2-BN.AA'=-\frac{a^2}{2}+a^2-\frac{a^2}{2}=0\]
\[\Rightarrow MN\bot A'C\].
b) Gọi:
\[\phi\] là góc hợp bởi \[\vec{MN}\] và \[\vec{A'C}\].
Ta có:
\[\vec{MN}.\vec{AC'}=MN.AC'.cos\phi\quad (1)\]
Mặt khác ta có :
\[\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\]
\[\vec{AC'}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CC'}\]
Nên:
\[\vec{MN}.\vec{AC'}=\left( \vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\right) .\left( \vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CC'}\right)\]
\[=\vec{MN}.\vec{BC}+\vec{AB}^2+\vec{BN}.\vec{CC'}\]
\[=-\frac{a^2}{2}+a^2+\frac{a^2}{2}=a^2\].
Mặt khác:
\[MN^2=\vec{MN}^2=\left(\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}\right) ^2=MA^2+AB^2+BN^2\] \[=\frac{a^2}{4}+a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{2}\]
\[\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{6}}{2}\]
Ngoài ra ta có: \[AC'=a\sqrt{3}\]
Thay vào (1) ta có:
\[a^2=\frac{a\sqrt{6}}{2}.a\sqrt{3}.cos\phi\Rightarrow cos\phi=\frac{\sqrt{2}}{3}\]
3. Vectơ đồng phẳng
Định nghĩa Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Từ định nghĩa đó ta suy ra: nếu ta vẽ
\[\vec{OA}=\vec{a};\quad \vec{OB}=\vec{b};\quad \vec{OC}=\vec{c}\]
thì ba vectơ \[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\] đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm \[O,A,B,C\]nằm trên cùng một phẳng.
Định lí 1. Cho 3 vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] trong đó \[\vec{a},\vec{b}\] không đồng thời đồng phương.
Khi đó ba vectơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] đồng phẳng nếu và chỉ nếu có các số \[k,l\] sao cho:
\[\vec{c}=k\vec{a}+l\vec{b}\].
Định lí 2. Nếu \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\] là ba vectơ không đồng phẳng thì với mọi vectơ \[\vec{x}\] ta đều có:
\[\vec{x}=k\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c}\]
trong đó bộ ba số\[k,l,m\] là duy nhất.
Tags: hinh hoc khong gian, hình học không gian 12, hinh khong gian, hình không gian, vecto, hình học vecto
