ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình đường tròn tâm \[I(a; b)\], bán kính \[R\] là:
\[(x-a)^2+(x-b)^2=R^2\]
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[( C )\] tại điểm \[M(x_0; y_0)\] thuộc đường tròn là:
\[(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0\]
2. Phương trình \[C(x, y)=x^2+y^2-2ax-2by+c=0\]
với \[a^2+b^2>c\], biểu diễn một đường tròn \[( C )\] tâm \[I(a; b)\], bán kính \[R=\sqrt{a^2+b^2-c}\].
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[( C )\] tại điểm \[M(x_0; y_0)\] thuộc đường tròn là:
\[x_0x+y_0y-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0\]
3. Phương tích của điểm \[M(x_0; y_0)\] đối với đường tròn \[( C )\] là:
\[P_{M/( C )}=x_0^2+y_0^2-2ax_0-2by_0+c=C(x_0, y_0)\]
4. Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm:
\[(C_1):\quad x_1^2+y_1^2-2a_1x-2b_1y+c_1=0\]
\[(C_2):\quad x_2^2+y_2^2-2a_2x-2b_2y+c_2=0\]
trong đó \[(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2\not=0\], có phương trình là:
\[(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y-\frac{c_1-c_2}{2}=0\]
II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
1. Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.
Phương pháp
Cách 1:
a) Đưa phương trình về dạng:
\[x^2+y^2-2ax-2by+c=0\quad (1)\]
b) Xét dấu biểu thức \[m=a^2+b^2-c\].
c) Nếu \[m>0\] thì \[(1)\] là phương trình đường tròn tâm \[I(a; b)\], bán kính \[R=\sqrt{a^2+b^2-c}\].
Cách 2:
Đưa phương trình về dạng
\[(x-a)^2+(y-b)^2=m\quad (2)\]
Nếu \[m>0\] thì \[(2)\] là phương trình đường tròn tâm \[I(a; b)\], bán kính \[R=\sqrt{m}\].
Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có:
a) \[x^2+y^2-10x+6y-15=0\]
b) \[2x^2+2y^2-8x+14y-1=0\]
c) \[2x^2+y^2-4x+12y-13=0\]
d) \[x^2+y^2-5x+8y-4=0\]
e) \[x^2+y^2-8x+4y+15=0\]
g) \[x^2+y^2-2\sqrt{3}x+4y+7=0\]
Ví dụ 2: Cho phương trình \[x^2+y^2-2(m-1)x+4my+4m^2-4=0 \quad (1)\]
a) Với giá trị nào của \[m\] thì \[(1)\] là phương trình của đường tròn?
b) Nếu \[(1)\] là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn đó theo \[m\].
2. Lập phương trình của đường tròn.
Phương pháp
Cách1:
a) Tìm toạ độ tâm \[I(a; b)\] của đường tròn \[( C )\];
b) Tính bán kính \[R\] của \[( C )\];
c) Viết phương trình \[( C ) \] theo dạng \[(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\quad (1)\]
Chú ý
a) \[( C )\] đi qua \[A, B\Leftrightarrow IA^2=IB^2=R^2\].
b) \[( C )\] đia qua \[A\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta\] tại \[A\Leftrightarrow IA=d(I,\Delta)\].
c) \[( C )\] tiếp xúc với hai đường thẳng \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\Leftrightarrow d(I,\Delta_1)=d(I,\Delta_2=R)\].
Cách 2:
a) Gọi phương trình của đường tròn \[( C )\] là \[x^2+y^2-2ax-2by+c=0\quad (2)\]
b) Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là \[a, b, c\].
c) Giải hệ phương trình thế tìm \[a, b, c\] thế vào \[(2)\] ta được phương trình đường tròn \[( C )\].
Các ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình của đường tròn \[( C )\] trong các trường hợp sau:
a) \[( C )\] có tâm \[I(-1; 2)\] và tiếp xúc với đường thẳng \[\Delta: x-2y+7=0\].
b) \[( C )\] có đường kính \[AB\] với \[A(1; 1), B(7; 5)\].
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \[A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)\].
3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Phương pháp
Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm \[M_0(x_0; y_0)\] thuộc đường tròn \[( C )\].
a) Tìm toạ độ tâm \[I(a; b)\] của \[( C )\].
b) Phương trình tiếp tuyến với \[( C )\] tại \[M_0(x_0; y_0)\] có dạng:
\[(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0\]
