Toán học và tin học: Bài toán về đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

[ButBi]

Từ một bài toán đơn giản về sự tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn, chúng ta có nhiều khám phá rất thú vị. Sự thay đổi của tiếp tuyến dẫn đến sự thay đổi về diện tích, chu vi và đoạn thẳng. Những ẩn chứa sâu xa trong nó là gì? Chúng ta hãy đến với bài toán sau:

Bài 1:
Cho góc vuông xOy vuông góc ở O và đường tròn tâm I bán kính r tiếp xux1 với 2 cạnh của góc xOy lần lượt tại D và E. Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (I ; r) tại F cắt tia Ox và Oy ở A và B (F ở trên cung lớn DE). Xác định vị trí đường thẳng d để độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Ta dựng hình và tìm giá trị bé nhất của đoạn thẳng AB trên phần mềm tin học Cabri.

Bước 1: Dựng hình
- Dựng hệ trục Oxy sao cho 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau.
- Dựng đường phân giác của góc xOy.
- Lấy trên đường phân giác này 1 điểm I. Hạ từ I đường vuông góc ID với trục Ox.
- Dựng đường tròn tâm I bán kình ID.
- Dựng các đường vuông góc với Ox, Oy tại I cắt cung lớn ED tại

.
- Lấy điểm F ở trên cung

.
- Dựng tiếp tuyến tại F của đường tròn cắt Ox và Oy tại A và B.
- Dựng trên Oy một điểm N sao cho ON = AB.
- Các đường vuông góc với Oy tại N và Ox tại M cắt nhau tại E'.

Bước 2: Tạo hàm khoảng cách
- Tạo vết cho điểm E', chuyển động điểm F, ta thu được quỹ tích của E'.
Di chuyển điểm F sao cho điểm E' đạt cực tiểu, ta thấy dường như OI vuông góc với AB.
Từ đây ta có cách giải Toán học cho nó như sau:

Cách 1:
Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh OA, OB, AB lần lượt tại D, E, F.
Suy ra OE = OD, BE = BF, AD = AF.
Do đó OA + OB - AB = OD + OE.
Tứ giác OEID là hình chữ nhật (vì

mà OE = OD nên OEID là hình vuông).
Do đó OD = OE = IE = ID = r.
Suy ra OA + OB - AB = 2r.
Mặt khác

. Suy ra OA . OB = r(OA + OB +AB).
Tam giác OAB có

nên

.

.
Suy ra

Suy ra

Hay

(không đổi).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OA = OB

AB vuông góc với OI tại K là giao điểm của OI với (I).
(Còn tiếp...)

 

[chuvunam1111]

???>>>>>>> thiensu1111.tk