[Toán 8] tìm min

[cobecuanuocmat]

tìm min của biểu thức
P=

trong đó x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=3
cảm ơn nếu có ai đó giúp mình

 

[khanhsy]

tìm min của biểu thức
P=

trong đó x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=3
cảm ơn nếu có ai đó giúp mình

Ta sẽ chứng minh sẽ chứng minh \[ P\ge \frac{4}{3}\] thật vậy

\[1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z} \ge \frac{4}{3}(xy+yz+zx) \]

\[\leftrightarrow 1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z} \ge \frac{2}{3} (9-x^2-y^2-z^2)\]

Hay là

\[\leftrightarrow 3(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}) +2(x^2+y^2+z^2) \ge 15\]

Ta lại có theo \[AM-GM\]

\[\begin{cases} \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x} +x^2+x^2 \ge 5x \\ \sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{y} +y^2+y^2 \ge 5y \\ \sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{z} +z^2+z^2 \ge 5z \end{cases}\]

Cộng vế theo vế ta được đpcm

 

[cobecuanuocmat]

theo AM-GM là gì vậy ạ ?