[Toán 8] Đại

[mhhoc]

CMR: 7*25^n+12*6^n chia hết cho 19 với mọi n là số tự nhiên :witless:

 

[pepj_ngok96]

CMR: 7*25^n+12*6^n chia hết cho 19 với mọi n là số tự nhiên :witless:

\[CMR:A = 7.25^{n} + 12.6^{n}\] chia hết cho 19 với mọi \[n \in N\]

Đặt: f = \[7.25^{n} + 12.6^{n}\]
*) Với n = 1 => A = 247 chia hết cho 19 => f(1) đúng
*) Giả sử: A đúng với n = k > 1 , tức là: \[f(k) = 7.25^{k} + 12.6^{k}\] là đúng
=> CM: f(k+1) cũng đúng , tức là CM: \[f(k+1) = 7.25^{k+1} + 12.6^{k+1}\] chia hết cho 19
Ta có: \[7.25^{k}.25 + 12.6^{k}.6 = 6(7.25^{k} + 12.6^{k}) + 19.7.25^{k}\]
Nhận thấy: \[6(7.25^{k} + 12.6^{k})\] chia hết cho 19 (do giả sử)
và \[19.7.25^{k}\] chia hết cho 19 với mọi \[n \in N\]
=> f(k+1) chia hết cho 19
Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có thể kết luận: \[7.25^{n} + 12.6^{n}\] chia hết cho 19 với mọi \[n \in N\]

 

[doxuanthang]

\[CMR:A = 7.25^{n} + 12.6^{n}\] chia hết cho 19 với mọi \[n \in N\]

Đặt: f = \[7.25^{n} + 12.6^{n}\]
*) Với n = 1 => A = 247 chia hết cho 19 => f(1) đúng
*) Giả sử: A đúng với n = k > 1 , tức là: \[f(k) = 7.25^{k} + 12.6^{k}\] là đúng
=> CM: f(k+1) cũng đúng , tức là CM: \[f(k+1) = 7.25^{k+1} + 12.6^{k+1}\] chia hết cho 19
Ta có: \[7.25^{k}.25 + 12.6^{k}.6 = 6(7.25^{k} + 12.6^{k}) + 19.7.25^{k}\]
Nhận thấy: \[6(7.25^{k} + 12.6^{k})\] chia hết cho 19 (do giả sử)
và \[19.7.25^{k}\] chia hết cho 19 với mọi \[n \in N\]
=> f(k+1) chia hết cho 19
Theo nguyên lý quy nạp toán học ta có thể kết luận: \[7.25^{n} + 12.6^{n}\] chia hết cho 19 với mọi \[n \in N\]

Mình làm thế này không dùng quy nạp.
7*25^n+12*6^n = (7*25^n-7*6^n)+19*6^n
áp dụng hằng đẳng thức a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+.....+b^(n-1)] suy ra dpcm