Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC và SB

[03d]

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC và SB

 

[light_future96]

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC và SB

Trên mặt phẳng ABC lấy điểm D sao cho \[AD \perp AC\] và BD // AC
Do BD // AC nên khoảng cách từ SB đến AC bằng khoảng cách từ AC đến mp(SBD).(*)
Từ A kẻ \[AH \perp SD\]
Do\[ AC \perp SA\] và \[AC \perp AD\] nên \[AC \perp (SAD)\]
Mà BD // AC nên\[ BD \perp (SAD)\]
Suy ra \[BD \perp AH\]
Lại có AH \perp SD
nên\[ AH \perp (SBD) \]
Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng độ dài AH(**)
Từ (*) và (**) suy ra độ dài cần tìm là AH
Dễ chứng minh được AD

Mà tam giác SAD vuông tại D nên theo hệ thức lượng trong tam giác SAD ta có:

Từ đó tính được AH