Tính độ dài BQ theo a?

[pemeo255]

Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của AC;gọi K là trung điểm của AH; gọi Q là điểm đối xứng của H qua M. Gọi N là điểm đối xứng của K qua H.
1. C/m: AQCH là hình chữ nhật?
2. C/m: KQCN là hình bình hành?
3. C/m: BNCK là hình thoi?
4. Tứ giác BQCN là hình gì?
5. C/m: K là trung điểm của BQ (B;K;Q thẳng hàng?)
6. Tính độ dài BQ theo a?
Giải giúp em câu 5 và câu 6 nhak

 

[pepj_ngok96]

Cho tam giác ABC đều cạnh a, có AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của AC;gọi K là trung điểm của AH; gọi Q là điểm đối xứng của H qua M. Gọi N là điểm đối xứng của K qua H.
1. C/m: AQCH là hình chữ nhật?
2. C/m: KQCN là hình bình hành?
3. C/m: BNCK là hình thoi?
4. Tứ giác BQCN là hình gì?
5. C/m: K là trung điểm của BQ (B;K;Q thẳng hàng?)
6. Tính độ dài BQ theo a?
Giải giúp em câu 5 và câu 6 nhak

5. C/m: K là trung điểm của BQ (B;K;Q thẳng hàng?)

+) Có: BQ // CN (do tứ giác BQCN là hình thang)
BK // CN (do BNCK là hình thoi)

=> B,K,Q thẳng hàng ( tiên đề ơ-clit: qua 1 điểm nằm ngoài 1 đg thg có 1 và chỉ 1 đt song song vz đt đã cho)

+) Có: BK = NC ( BNCK la hình thoi)
KQ = NC (KQCN là hình bình hành)

=> BK = KQ
=> K là trung điểm của BQ

6. Tính độ dài BQ theo a?

+) Có tam giác ABH vuông tại H:
\[=> AH^2 = AB^2 - BN^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}\]
\[=> AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
\[=> KH = \frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\]

+) Có tam giác BKH vuông tại H:
\[=> BK^2=KH^2+BH^2=\frac{3a^2}{16}+\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{16}\]
\[=> BK = \frac{a\sqrt{7}}{4}\]
\[=> BQ = 2BK = \frac{a\sqrt{7}}{2}\]