Cho \[A(a,0) \in Ox\\]. Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có pt y=k(x-a) tiếp xúc với (C)
<=> \[k(x - a) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 1}}\\] có nghiệm kép
<=> \[(1 - k){x^2} - k(1 - a)x - (4 - ka) = 0\\] có nghiệm kép
<=> \[k \ne 1\\] và \[\Delta = 0\\]
<=> \[\Delta = g(k) = {(a + 1)^2}{k^2} - 4k(4 + a) + 16 = 0\\]
Từ A(a,0) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) <=> g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k khác 1. Xét 3 trường hợp có thể xảy ra:
TH1: Nếu \[{(a + 1)^2} = 0 = > a = - 1 = > k = \frac{4}{3}\\] (thỏa mãn)
- Ta có:
\[\Delta 'g = - 48{a^2} + 192\\]
\[g(1) = {(a + 1)^2} - 4(4 + a) + 16\\]
TH2: \[\Delta 'g > 0\\] và \[g(1) = 0\\]
<=> a = 1 (thỏa mãn)
TH3: \[\Delta 'g = 0\\] và \[g(1) \ne 0\\]
<=> \[a \ne 1\\] và \[a = \pm 2\\] (thỏa mãn)
Kết luận: Từ \[{A_1}(1;0);{A_2}( - 1;0);{A_3}(2;0);{A_4}( - 2;0)\\] thuộc Ox kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
