Tìm min! hic!

[ngocnhi]

cho x+y+z=1
tìm min của
\[P=\frac{{x}^{2}(y+z)}{yz}+\frac{{y}^{2}(x+z)}{zx}+\frac{{z}^{2}(x+y)}{xy}\]

 

[thanhnam89]

P duoc viet lại nhu sau (khai trien ra ta duoc)=x^2/y+y^2/x+x^2/z+z^2/x+y^2/z+z^2/y
bài này nên dùng BDT mỡ rộng của x^2+y^2>=2xy đó là x^2+y^2 -xy >= xy tươmg đương với x^3+y^3>=xy(x+y) tuong duong voi x^2/y+y^2/x >=x+y, tuong tu ta có x^2/z+z^2/x>=x+z; y^2/z+z^2/y>=y+z ;
cộng vế theo vế ta duoc P>=2(x+y+z)=2 (do x+y+z=1) , P=2 khi va chi khi x=y=z=1/3
vay minP=2 ung voi x=y=z=1/3

 

[son93]

cho x+y+z=1
tìm min của
\[P=\frac{{x}^{2}(y+z)}{yz}+\frac{{y}^{2}(x+z)}{zx}+\frac{{z}^{2}(x+y)}{xy}\]

Dùng cosy này:
có được
\[yz \leq \frac{(y+z)^2}{4}\]
\[\Rightarrow \frac{{x}^{2}(y+z)}{yz}\geq \frac{4x^2(y+z)}{(y+z)^2}=\frac{4x^2}{y+z}\]
tương tự có được:
\[P \geq \frac{4x^2}{y+z}+\frac{4y^2}{x+z}+\frac{4z^2}{x+y} \geq \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=2(x+y+z)=2\]
dấu bằng khi \[x=y=z=\frac{1}{3}\]