Tìm m để hàm số nghịch biến

[muahoatuyet]

Tìm m để hàm số y = x[SUP]3[/SUP] + 3x[SUP]2[/SUP] + (m+1)x + 4m nghịch biến trên (-1;1)

 

[03d]

Có phải đáp án là m<=-10 không vậy

 

[03d]

Mình ko biết gõ công thức toán học, nếu đáp án của mình đúng thì bạn nói mình, mình nói cách làm cho

 

[pepj_ngok96]

Tìm m để hàm số y = x[SUP]3[/SUP] + 3x[SUP]2[/SUP] + (m+1)x + 4m (1) nghịch biến trên (-1;1)

TXĐ: D=R
Có: y' = 3\[x^2\] + 6x + m + 1
Hàm số (1) nghịch biến trên (-1;1) <=> \[y' \leq 0\] với mọi x thuộc (-1;1)
<=> pt y'=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: \[x_{1}\leq -1 <1\leq x_{2}\]
<=> pt y'=0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: \[\left\{\begin{matrix}x_{1}\leq -1\leq x_{2} & \\ x_{1}\leq 1\leq x_{2} &\end{matrix}\right.\]

*) TH1: \[x_{1}\leq -1\leq x_{2}\]
pt y' = 3\[x^2\] + 6x + m +1= 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: \[x_{1}\leq -1\leq x_{2}\]
<=> pt y' = 3\[x^2\] + 6x + m +1 = 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: \[\left\{\begin{matrix}x_{1}+1 \leq 0 & \\ x_{2}+1\geq 0 & \end{matrix}\right}\]
<=> pt y'(t) = 3\[t^2\] + m - 2 = 0 có 2 nghiệm t1,t2 thỏa mãn: \[t_{1}\leq 0\leq t_{2}\] ( với t = x + 1)
<=> y'(t) = 0 có 2 nghiệm trái dấu
<=> \[\frac{m-2}{3}\leq 0\]
<=> \[m\leq 2\]

*) TH2: \[x_{1}\leq 1\leq x_{2}\]
pt y' = 3\[x^2\] + 6x + m +1= 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: \[x_{1}\leq 1\leq x_{2}\]
<=> pt y' = 3\[x^2\] + 6x + m +1 = 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: \[\left\{\begin{matrix}x_{1}-1 \leq 0 & \\ x_{2}-1\geq 0 & \end{matrix}\right}\]
<=> pt y'(t) = 3\[t^2\] +12t + m + 10 = 0 có 2 nghiệm t1,t2 thỏa mãn: \[t_{1}\leq 0\leq t_{2}\] (với t=x-1)
<=> \[\frac{m+10}{3}\leq 0\]
<=> \[m\leq -10\]

KL: Kết hợp hai trường hợp trên ta có \[m\leq -10\]

 

[HoaCucSushi]

Cô giáo mình có dạy 1 cách giải nhanh hơn như này!!! Các bước đầu cũng như bạn!!!

đó là ta tách m ra 1 vế và vế kia đặt làm f(x) xét hàm số f(x) trên (-1,1) bằng cách tìm f'(x) rồi tìm min hoặc max thông qua bảng biến thiên rồi ra gt của m.

 

[ech bang]

kiểu khác..
để nghịch biến (-1,1) thì y'<=0
y' = 3

+ 6x + m + 1 (1)
giải pt (1) tìm ra hai nghiệm x là X cđ và Xct
từ bảng biến thiên muốn nghịch biến thì Xct >= 1 hoặc X cđ =<-1
giải cái đống đó ra sẽ tìm được m

​