Cực trị hàm số là dạng toán quan trọng mà học sinh phải chú ý, dạng toán này rất hay xuất hiện trong các đề thi. Với câu hỏi nhận biết thông hiểu là nhìn bảng biến thiên hay đồ thị. Về câu hỏi vận dụng cao sẽ là hàm hợp khó. Để làm được dạng bài này cần hiểu rõ về hàm số và sự khảo sát hàm số. Cách nhìn đồ thị và kĩ năng phát hiện để giải toán. Cực trị sẽ có nhiều dạng và nó gồm cực đại và cực tiểu.
Dưới đây, xin gửi tới bạn đọc về dạng tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.
(Sưu tầm)
Bài toán 1: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=x0.
Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm x=x0⇒Δ′y′>0 và y′(x0)=0.
Bài toán 2: Tìm m để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x=x0.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 ta suy ra y′(x0)=0, giải phương trình tìm giá trị của tham số m.
Với giá trị của tham số m tìm được ta tính y″(x0) để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.
Bài tập 1: Cho hàm số y=x^3−2x^2+mx−2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=2 là
A. m=−4. B. m=4. C. m=2. D. Không tồn tại m.
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=3x^2−4x+m.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x=2⇔Δ′y′=4−3m>0 y′(2)=4+m=0 ⇔m=−4. Chọn A.
Bài tập 2: Cho hàm số y=13x^3+x^2+mx+2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=−1 là
A. m=−2. B. m=−1. C. m=1. D. Không tồn tại m.
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=x^2+2x+m.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x=−1⇔Δ′y′=1−m>0
y′(−1)=m−1=0 ⇔m=∅. Chọn D.
Bài tập 3: Cho hàm số y=2x3−3mx2+(m+9)x−1. Biết hàm số có một cực trị tại x=2. Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là
A. 1. B. 3. C. −1. D. −3.
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=6x^2−6mx+m+9.
Cho y′(2)=24−12m+m+9=0⇔m=3.
Với m=3⇒y′=6
Bài tập 4: Cho hàm số y=−18x^3+9(m^2+1)x^2+6(2−3m)x+2019
với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x=13.
A. m=2. B. m=−1. C. m=1. D. m=−2.
Lời giải chi tiết
Ta có
y′=−54x2+18(m^2+1)x+6(2−3m),
y'′=−108x+18(m^2+1).
Hàm số đạt cực tiểu tại x=13
khi đó y′(13)=0⇔−6+6(m^2+1)+6(2−3m)=0⇔m=2 m=−1
TH1: Với m=−1⇒y′(13)=0⇒x=13 không phải điểm cực tiểu của hàm số.
TH2: Với m=2⇒y′(13)=54>0⇒x=13 là điểm cực tiểu của hàm số.
Suy ra với m=2 thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Bài tập 5. Cho hàm số: y = 1/3 x^3 - mx^2 +(m^2 - m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1
Hiển thị đáp án
TXĐ: D = R
Ta có: y' = x^2 - 2mx + m^2 - m + 1, y'' = 2x - 2m
Điều kiện cần: y'(1) = 0 ⇔ m^2 - 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2
Điều kiện đủ:
Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị.
Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 .
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài tập 6. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x^3/3 +(2m - 1)x^2 + (m - 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2 .
Hiển thị đáp án
Ta có : y' = x^2 + 2(2m - 1)x + m - 9.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 là
y'(2) = 0 ⇒ 4 + 4(2m - 1) + m - 9 = 0 ⇒ m = 1.
Kiểm tra lại . Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1).
Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ m = 1.
Bài tập 7. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx^3 + 2(m - 1)x^2 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .
Hiển thị đáp án
Ta có: y' = 3mx^2 + 4(m - 1)x - m - 2,y'' = 6mx + 4(m - 1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y'(1) = 0 ⇔ 6m - 6 = 0 ⇔ m = 1
Khi đó y''(1) = 10m - 4 = 6 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Một vài kĩ năng và bài tập trên sẽ giúp bạn đỡ gặp khó khăn hơn trong việc giải toán cực trị. Cực trị không phải là dạng quá khó nếu bạn nắm rõ phương pháp và rèn luyện nhiều bài tập để hiểu rõ bản chất. Khảo sát như thế nào, đồ thị cho biết những điều gì của hàm số... Điều ấy sẽ giúp bạn có thêm kiến thức về toán học để ôn thi THPTQG. Chúc bạn học tốt và có một kì thi tốt đẹp !
Dưới đây, xin gửi tới bạn đọc về dạng tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.
(Sưu tầm)
Bài toán 1: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=x0.
Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm x=x0⇒Δ′y′>0 và y′(x0)=0.
Bài toán 2: Tìm m để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x=x0.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 ta suy ra y′(x0)=0, giải phương trình tìm giá trị của tham số m.
Với giá trị của tham số m tìm được ta tính y″(x0) để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.
Bài tập 1: Cho hàm số y=x^3−2x^2+mx−2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=2 là
A. m=−4. B. m=4. C. m=2. D. Không tồn tại m.
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=3x^2−4x+m.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x=2⇔Δ′y′=4−3m>0 y′(2)=4+m=0 ⇔m=−4. Chọn A.
Bài tập 2: Cho hàm số y=13x^3+x^2+mx+2. Giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại điểm x=−1 là
A. m=−2. B. m=−1. C. m=1. D. Không tồn tại m.
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=x^2+2x+m.
Hàm số đạt cực trị tại điểm x=−1⇔Δ′y′=1−m>0
y′(−1)=m−1=0 ⇔m=∅. Chọn D.
Bài tập 3: Cho hàm số y=2x3−3mx2+(m+9)x−1. Biết hàm số có một cực trị tại x=2. Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là
A. 1. B. 3. C. −1. D. −3.
Lời giải chi tiết
Ta có: y′=6x^2−6mx+m+9.
Cho y′(2)=24−12m+m+9=0⇔m=3.
Với m=3⇒y′=6
Bài tập 4: Cho hàm số y=−18x^3+9(m^2+1)x^2+6(2−3m)x+2019
với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x=13.
A. m=2. B. m=−1. C. m=1. D. m=−2.
Lời giải chi tiết
Ta có
y′=−54x2+18(m^2+1)x+6(2−3m),
y'′=−108x+18(m^2+1).
Hàm số đạt cực tiểu tại x=13
khi đó y′(13)=0⇔−6+6(m^2+1)+6(2−3m)=0⇔m=2 m=−1
TH1: Với m=−1⇒y′(13)=0⇒x=13 không phải điểm cực tiểu của hàm số.
TH2: Với m=2⇒y′(13)=54>0⇒x=13 là điểm cực tiểu của hàm số.
Suy ra với m=2 thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Bài tập 5. Cho hàm số: y = 1/3 x^3 - mx^2 +(m^2 - m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1
Hiển thị đáp án
TXĐ: D = R
Ta có: y' = x^2 - 2mx + m^2 - m + 1, y'' = 2x - 2m
Điều kiện cần: y'(1) = 0 ⇔ m^2 - 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2
Điều kiện đủ:
Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị.
Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 .
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài tập 6. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x^3/3 +(2m - 1)x^2 + (m - 9)x + 1 đạt cực tiểu tại x = 2 .
Hiển thị đáp án
Ta có : y' = x^2 + 2(2m - 1)x + m - 9.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 là
y'(2) = 0 ⇒ 4 + 4(2m - 1) + m - 9 = 0 ⇒ m = 1.
Kiểm tra lại . Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1).
Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ m = 1.
Bài tập 7. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx^3 + 2(m - 1)x^2 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .
Hiển thị đáp án
Ta có: y' = 3mx^2 + 4(m - 1)x - m - 2,y'' = 6mx + 4(m - 1)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y'(1) = 0 ⇔ 6m - 6 = 0 ⇔ m = 1
Khi đó y''(1) = 10m - 4 = 6 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Một vài kĩ năng và bài tập trên sẽ giúp bạn đỡ gặp khó khăn hơn trong việc giải toán cực trị. Cực trị không phải là dạng quá khó nếu bạn nắm rõ phương pháp và rèn luyện nhiều bài tập để hiểu rõ bản chất. Khảo sát như thế nào, đồ thị cho biết những điều gì của hàm số... Điều ấy sẽ giúp bạn có thêm kiến thức về toán học để ôn thi THPTQG. Chúc bạn học tốt và có một kì thi tốt đẹp !
