Gọi E,F lần lượt là trung điểm AB,AC của tam giác ABC.
1. Tứ giác EFCB là hình gì? Vì sao?
2. CE và BF cắt nhau tại G. Gọi K, H thứ tự là trung điểm của GC và GB. C/m EFGH là hình bình hành
3. Tìm điều kiện của tam giác ABC để EFKH là hình chữ nhật. Khi đó so sánh diện tích EFKH với diện tích tam giác ABC
Giải giúp em câu 3 nhak
Hình vẽ:
1. \[EF\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] nên \[EF//BC\]. Do đó \[EFCB\] là hình thang.
2. Có lẽ bạn gõ đề nhầm. Chính xác là \[EFKH\] là hình bình hành vì:
\[EF\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] nên \[EF//BC\] và \[EF=\frac{BC}{2}\]
\[KH\] là đường trung bình của tam giác \[GBC\] nên \[KH//BC\] và \[KH=\frac{BC}{2}\].
Như vậy tứ giác \[EFKH\] có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
3. Trước hết \[EFKH\] là hình bình hành. Để nó là hình chữ nhật thì phải có một góc vuông. Khi đó \[EH\bot BC\] và \[EK=FH\] hay tam giác \[GHK\] cân tại \[G\]. Suy ra tam giác \[GBC\] cân tại \[G\]. Như vậy suy ra tam giác \[ABC\] cân tại \[A\].
Khi tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] thì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\]. Khi đó dễ dàng chứng minh được \[EH=\frac{AG}{2}\].
Gọi \[h\] là đường cao của tam giác \[ABC\] thì \[EH=\frac{h}{3}\]
\[HK=\frac{BC}{2}\]
\[S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.h\]
\[S_{EFKH}=EH.HK=\frac{h}{3}.\frac{BC}{2}=\frac{1}{6}BC.h\]
Suy ra:
\[\frac{S_{EFKH}}{S_{ABC}}=\frac{1}{3}\]
