Đặt Q là biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất.
Đặt a=x+y, thì \[a\geq 2, 3(a+z)=a^2+z^2 (1)\]
Và \[Q=\frac{x^2}{a^2+x}+\frac{x}{z^2+x}\]
Ta có vì \[x\geq 1\] nên \[a^2(x^2-1)+ x^2-x\geq 0\Leftrightarrow x^2(a^2+1)\geq a^2+x\Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2+x}\geq \frac{1}{a^2+1}\]
Tương tự \[\frac{x}{z^2+x}\geq \frac{1}{z^2+1}\]
Từ đó: \[Q\geq \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\]
Mặt khác áp dụng tính chất với b,c là 2 số dương thì: \[\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{b+c}\]
Suy ra \[Q\geq \frac{4}{a^2+z^2+2}\].
Mà từ (1) ta có:\[(a^2+z^2)^2=9(a+z)^2\leq 18(a^2+z^2)(BDT B.C.S)\Rightarrow a^2+z^2\leq 18\]
Suy ra\[a^2+z^2+2\leq 20\Rightarrow \frac{1}{a^2+z^2+2}\geq \frac{1}{20}\].
Vậy:\[Q\geq \frac{4}{20}=\frac{1}{5}\]
Dấu bằng xảy ra khi:\[x=1,a=z, a^2+z^2=18\Rightarrow x=1, y=2,z=3\]
=(x+y)^2+z^2)
^2+x]}+\frac{x}{(z^2+x)})
