Tìm GTNN 2

[qtuan9]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa màn x+y+z=3
Tìm GTNN của P= 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2+y^2+z^2)+2xyz.

 

[binhi]

mai bai toan kieu nay ban hoi anh buttre i.
anh i gioi may bai toan kieu nay lam

 

[khanhsy]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa màn x+y+z=3
Tìm GTNN của P= 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2+y^2+z^2)+2xyz.

Bài này khá dễ, chỉ cần bạn chú ý đến cái này

Giả sử rẳng \[(a-1)(b-1)\ge 0 \rightarrow abc \ge c(a+b)-1\]

Và hai bất đẳng thức

\[a^3+b^3 \ge \frac{(a+b)^3}{4}\]

\[a^2+b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}\]

Tới đây tha hồ mà khảo sát 1 cách dễ dàng bạn nhỉ

 

[qtuan9]

em vẫn chưa hiểu ,tại sao giả sử được như vậy.nếu , = không thi sao ,tìm GTNN .thầy giúp em làm cụ thể hơn được không ah

 

[khanhsy]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa màn x+y+z=3
Tìm GTNN của P= 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2+y^2+z^2)+2xyz.

Trong ba số tự do có ít nhất hai số lớn hơn một hoặc hai số nhỏ hơn một giả sử rằng nó là \[x,y\]

Thì ta có \[(x-1)(y-1)\ge 0\rightarrow xy\ge x+y-1 \rightarrow xyz \ge z(x+y)-z\]

Vậy nên ta có

\[P\ge \frac{2}{4}(x+y)^3+2z^3-(x+y)^2-z^2+2xy+2[ z(x+y)-z] \]

\[P\ge \frac{1}{2}(x+y)^3+2z^3-(x+y)^2-z^2+2(x+y-1)+2[ z(x+y)-z] = \frac{1}{2}(3-z)^3+2z^3-(3-z)^2-z^2+2(2-z)+2[ z(3-z)-z]\]

\[=\frac{3z^3-z^2+11z+17}{2}=\frac{(z-1)^2(3z+7)}{2}+5 \ge 5\]

Vậy \[min P:=5\]