Tích phân

[hoaloaken_hg]

tính tích phân cận từ 0 đến pi[FONT=.VnTime]/2 cña cos2x/(1+sin^2x)[/FONT][FONT=.VnTime][/FONT]

 

[liti]

mình đã từng thắc mắc bài này và hỏi bên math.vn. Nếu bạn cần thì xem lời giải chi tiết đây





lời giải của 2_N^M`:



Lời giải: Sử dụng công thức \[\sin\alpha=\frac{ 2\tan \frac{\alpha}{2} }{1+\tan^2 \frac{ \alpha }{2} }\] chúng ta thấy:

\[\frac{\cos 2x}{1+\sin^2x}=\frac{2\cos 2x}{3-\cos 2x}=\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{2}- 2x\right)}{3-\sin\left(\frac{\pi}{2}- 2x\right)}=\frac{4\tan\left( \frac{\pi}{4} -x \right)}{3\tan^2\left( \frac{\pi}{4} -x \right)-2\tan\left( \frac{\pi}{4} -x \right)+3}\]​

Đặt \[\tan\left(\frac{\pi}{4}- x\right)=t\]; để ý rằng \[dt=-(1+t^2)dx\], chúng ta có được:

\[I=4\int_{-1}^{1}\frac{tdt}{(1+t^2)(3t^2-2t+3)}=2\left( \int_{-1}^1\frac{dt}{t^2-\frac{2}{3}t+1}-\int_{-1}^1\frac{dt}{t^2+1} \right)=2(I_1-I_2)\]​

Xét tích phân đầu tiên:

\[I_1=\int_{-1}^1\frac{dt}{t^2-\frac{2}{3}t+1}=\int_{-1}^1\frac{dt}{\left(t-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}}=\left.\frac{3 \sqrt{2}}{4}\arctan\left(\frac{3t-1}{2\sqrt{2}}\right)\right|_{-1}^1=\left.\frac{3\pi \sqrt{2}}{8}\]​

Với tích phân còn lại thì có ngay: \[I_2=\left. \left( \arctan x \right) \right|_{-1}^{1}=\frac{\pi}{2}\]


Tóm lại thì có kết quả là:

\[I=\left( \frac{-4+3\sqrt{2}}{4}\right)\pi\qquad\\]










​