TÍCH PHÂN HAI LỚP - TÍCH PHÂN KÉP.
1. Định nghĩa tích phân kép:
Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn ; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín, và các điểm trên biên L được coi là thuộc D)
Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác định và liên tục trong miền D).
Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là
Lấy trên mỗi miền 1 điểm
Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch của ) miền D và cách chọn điểm Pi. Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác. Nghĩa là, đường kính di của mỗi miền càng nhỏ (càng tiến về 0) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.
Vậy, cho
trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.
Nhận xét:
1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Do đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f(x,y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f(x,y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0. Và như vậy, ta có thể xét f(x,y) là hàm có dấu bất kỳ.
2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1 khoảng Δx) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn Δy). Khi đó Δs = Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. Nên ta thường dùng ký hiệu:
3. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy. Nghĩa là,
2. Tính chất của tích phân kép:
Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây ủa tích phân kép:
1.
2.
3.
4. Nếu miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1, D2 chỉ có điểm biên chung) thì:
Nguồn: thunhan.wordpress.com
