1.- Mấy nét về lịch sử:
Toán học Trung Hoa có lịch sử 4000 năm, nhưng đến đời Đường (618 -935) mới du nhập vào Việt Nam và các nước khác ở châu Á như Nhật Bản, Triều Tiên… Cuốn sách toán đầu tiên vào nước ta là Bản Cửu chương theo thứ tự từ lớn đến bé (cửu cửu bát nhất, bát cửu thất nhì…). Về sau, theo sách Toán pháp thống tôn (1639) cuối đời Minh lại đổi thứ tự ngược lại từ bé đến lớn.
Nhân nói về Thi Toán, HXH có nhắc tới hai người (xem như các nhà toán học nước ta thuở xưa).
Một là trạng nguyên Lương Thế Vinh (1441) đời Lê Thánh Tông với cuốn Đại Thành Toán pháp, nay còn bản in thời Vĩnh Thịnh (1705 - 1719). Ngoài bản cửu chương (theo thứ tự từ lớn đến bé ), sách còn nói về các số lớn: ức, triệu, kinh, thê, cai, nhương, giản, chinh, ti, cực. Cứ vạn vạn bậc dưới ăn một bậc trên, ví dụ: vạn vạn ức là một triệu, vạn vạn triệu là một kinh. Nhưng không cho biết vạn vạn là bao nhiêu? Nếu vạn vạn = 10 giống như 10 chục là một trăm, mười trăm là một nghìn thì tại sao lại còn phân biệt cách đếm số lớn với số nhỏ. Cách đếm đó Tôn Tử gọi là Đại số pháp chú ý chữ đại ở đây là lớn, khác với chữ đại là thay (thay số bằng chữ trong đại số, Algèbre).
Người thứ hai là ông Nguyễn Hữu Chung (không biết có đỗ dạt gì không ) với Bản Cửu chương Lập thành tính pháp trước thời Vĩnh Thịnh.
2.- Tổ chức thi toán
Nhà nước Phong kiến xưa tổ chức các kỳ thi toán để chọn người làm việc lại (lại viên). Kẻ học để đi thi khoa cử không thi lại. Các kỳ thi này cũng không tổ chức định kỳ. Cứ 10 năm, hoặc 15 năm mới có một kỳ thi chọn lại viên.
Kỳ thi chọn lại viên được biết sớm nhất từ thời nhà Trần. Năm 1077, tháng 2 năm Đinh tỵ, đời Lý Nhân Tôn với các môn thi: Thư (viết chữ tốt ), Toán (toán pháp ), Hình luật.
Năm 1261, tháng 2 năm Tân Dậu đời Trần Thánh Tôn, thi lại viên với 2 môn Thư, Toán. Ai trúng được sung vào chức Nội lĩnh sử.
Các kỳ thi chọn lại viên tiếp theo được tổ chức vào các năm 1363, tháng 3 năm Quý Mão đời vua Trần Dụ Tôn; năm 1373, tháng 8 đời vua Trần Duệ Tôn, năm 1393, đời vua Trần Thuận Tôn có thể không thi môn toán.
Năm 1404, khi Hồ Hán Thương lên ngôi, thi chọn lại viên có môn toán.
Năm 1437, tháng giêng năm Đinh Tỵ đời vua Lê Thái Tôn có thi toán. 690 người trúng cử được bổ các chức ở các nha môn.
Tiếp theo, vào các năm 1475, 1477, 1483, 1507, 1572, 1722 và 1762 tháng 5, năm Nhâm Ngọ đời vua Lê Hiển Tôn là kỳ thi chọn lại viên cuối cùng có thi toán. Đặc biệt kỳ thi năm 1507, tháng chạp năm Bính Dần, đời vua Lê Uy Mục tổ chức thi Toán ở sân Điện Giảng Võ có hơn 3 vạn thí sinh, 1519 người trúng tuyển, trong đó Nguyễn Tử Khương đỗ đầu.
3.- Chương trình thi
Như đã nói ở trên, thi lại viên cốt chọn những người làm việc lại: coi việc sổ sách giấy má, tính sưu thuế, việc đạc điền (biết tính diện tích các đám ruộng), việc binh lương và các việc quốc dụng khác như tính thể tích con đê, thành, hào. Biết tính số gạch, gỗ, đều cần người biết làm toán.
Không biết chương trình thi Toán thời Trần có những gì, nhưng đến thời Lê, chương trình thi toán được quy định như sau:
Về số học có các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia được dùng bàn tính hoặc thẻ (trù toán). Các phép chia bình phân (chia đều), sai phân (chia tỷ lệ) khá phức tạp, có cả tạp số, ví dụ một mẫu = 10 sào, 1 sào = 15 thước. Ngoài ra thí sinh còn phải dùng đến cả phép khai phương (lấy căn bậc hai). Thí sinh thường dùng cuốn “Cửu chương lập thành tính pháp“ của ông Nguyễn Hữu Chung, trước thời Vĩnh Thịnh (1705 - 1719 ) để ôn luyện, có khi học thuộc lòng.
Về Hình học, chương trình gồm: tính diện tích các hình tự phương điền (hình vuông), trực điền (hình chữ nhật), thê điền (hình thang), khuê điền (thang cân), tà điền (tam giác thường), viên điền (hình tròn), thuẩn điền (hai cung úp vào nhau), hình bầu dục (Elip), mi điền (hình đường mày), cổ điền (hình trống).
Có một vấn đề chưa rõ là ngày xưa người ta tính diện tích các hình nói trên theo công thức nào? độ chính xác đến đâu? Đã biết dùng số pi chưa và độ chính xác đến mức nào. Rất tiếc là không có một đề thi hình học nào để tham khảo.
4.- Đề thi
Có lẽ tác giả không tìm được tư liệu, hoặc không có tư liệu về loại này nên chỉ trích một bài trong sách “Chỉ minh lập thành toán pháp” của ông Phan Huy Khuông, tự là Lã Phố (người làm vườn già ), người làng Đông Ngạc, huyện Từ Liêm, Hà Nội. Ông sinh vào thời Lê mạt. Sách ông soạn cốt để dạy con cháu trong nhà đi thi (sách luyện thi).
Sau đây là một bài mẫu (chỉ có phần số học, không có hình học), lời văn rườm rà, có chỗ thừa, từ ngữ cổ, xin chép lại nguyên văn để bạn đọc tham khảo.
Bài ra (Đầu bài):
Hỏi, nay được phụng ban vàng bạc cộng là 1000 cân. Số bạc ấy bản quan lĩnh, lượng chiếu số bạc 5292 lạng, để phát cho các viên thuộc ở bản dinh là 328 người. Nếu sẽ chia đều cho mọi người thì còn lẻ 4 phân, 8 ly, nghĩ sao hạ chia đều, lẽ chưa được phải. Vậy phép chia đều không thể dùng, lẽ đã rõ ràng. Nay muốn đem số tiền ấy chia cho bản thuộc theo phép “sai suy“ (hoặc sai phân, suy phân là phép chia theo tỷ lệ - giải thích của GS. HXH). Chia làm ba hạng: hạng Giáp 8 người, mỗi người được 7 phân; hạng Ất 20 người, mỗi người 5 phân; hạng Bính 300 người, mỗi người được 2 phân.
Như thế thì mỗi người được lĩnh bao nhiêu, và tính góp lại mỗi hạng được lĩnh bao nhiêu? Các thí sinh thi toán, học tập đã tinh thông; hãy tính toán, biên biệt; nên tường tận giãi bày, để tỏ điều hiểu rõ.
Trả lời (Đáp án):
Hạng Giáp được mỗi người 49 lạng, gộp thành 392 lạng. Hạng Ất mỗi người được 35 lạng, gộp thành 700 lạng. Hạng Bính mỗi người được 14 lạng, gộp thành 4200 lạng.
Để bạn đọc ngày nay không gặp rắc rối về ngôn từ và việc chuyển đổi các đơn vị, chúng tôi xin tóm tắt lại đầu bài:
Đem 5292 lạng bạc chia cho 328 người. Nếu chia đều cho mọi người thi còn lẻ 4 phân, 8 ly
(1 lạng = 100 phân, 1 phân = 10 ly, 5292 = 328 * 16.134 + 0.048).
Nên phải chia theo phép sai phân (chia theo tỷ lệ). Chia thành 3 loại:
Hạng Giáp 8 người, hạng Ất 20 người, hạng Bính 300 người. Mỗi người hạng Giáp, Ất, Bính tương ứng tỷ lệ với 7, 5, 2.
Hỏi mồi người được lĩnh bao nhiêu? và gộp lại mỗi hạng được bao nhiêu?
Chú ý: Bài ra có nhiều chỗ thừa: số vàng, bạc 1000 lạng vua ban và lý do việc chia đều không hết (còn dư 4 phân, 8 ly) là không cần thiết.
Bài giải mẫu của bài toán này do ông Phan Huy Khuông đưa ra quá dài, văn cổ, nên chúng tôi không muốn chép ra sợ làm phiền bạn đọc.
Qua bài Thi Toán đời xưa, điều dễ nhận thấy là: Toán học du nhập vào nước ta khá sớm và ngay từ thời Trần (thế kỷ 11) đã tổ chức được các kỳ thi toán, tuy nhiên nền toán học nước ta xưa vừa thấp lại không phát triển. Kiến thức toán từ Trung Hoa du nhập vào ta ngoài Bản cưủ chương và cách đếm số ra còn có gì nữa không? Theo GS. HXH, “Ở đời Đường, toán học bên Trung Hoa đã bành trướng đến cực Tây, mà nay ta còn có tủ sách cũ “.
Tình hình đó có thể do các nguyên nhân:
+ Việc học Toán, thi toán ở ta thời xưa quá xem nhẹ. Nhà nước và xã hội coi khinh những người làm công việc tính toán (lại viên). Kẻ lại ngày xưa cho là thấp hèn. Tác giả trích lời của Phan Huy Chú trong Lịch triều hiến chương rằng: “Xét ra chức nha, lại cho là hèn thấp. Việc kiểm soát sổ sách không giao cho kẻ sĩ. Kẻ sĩ làm văn, cho việc lại là ti tiện nên không nhúng tay vào“.
Những người thông minh, tài giỏi, được học hành tử tế (kẻ sĩ) coi khinh toán học thì lấy đâu ra các nhà toán học.
+ Các công trình, các sách toán không được in ấn hoặc có nhưng không được lưu giữ thì lấy đâu ra tài liệu mà học (!).
Chúng ta đã tôn vinh Trạng nguyên Lương Thế Vinh (Trạng Lường), trạng nguyên Vũ Hữu, xem như hai nhà toán học Việt Nam xưa bằng nhiều hình thức, nhưng việc sưu tầm, công bố các đóng góp về lĩnh vực toán học của các vị đó cho đời lại không thấy ai làm. Hoặc đã có mà không giữ lại được.
Hà nội 10/01/2007
TS. Trần Đình Viện
Toán học Trung Hoa có lịch sử 4000 năm, nhưng đến đời Đường (618 -935) mới du nhập vào Việt Nam và các nước khác ở châu Á như Nhật Bản, Triều Tiên… Cuốn sách toán đầu tiên vào nước ta là Bản Cửu chương theo thứ tự từ lớn đến bé (cửu cửu bát nhất, bát cửu thất nhì…). Về sau, theo sách Toán pháp thống tôn (1639) cuối đời Minh lại đổi thứ tự ngược lại từ bé đến lớn.
Nhân nói về Thi Toán, HXH có nhắc tới hai người (xem như các nhà toán học nước ta thuở xưa).
Một là trạng nguyên Lương Thế Vinh (1441) đời Lê Thánh Tông với cuốn Đại Thành Toán pháp, nay còn bản in thời Vĩnh Thịnh (1705 - 1719). Ngoài bản cửu chương (theo thứ tự từ lớn đến bé ), sách còn nói về các số lớn: ức, triệu, kinh, thê, cai, nhương, giản, chinh, ti, cực. Cứ vạn vạn bậc dưới ăn một bậc trên, ví dụ: vạn vạn ức là một triệu, vạn vạn triệu là một kinh. Nhưng không cho biết vạn vạn là bao nhiêu? Nếu vạn vạn = 10 giống như 10 chục là một trăm, mười trăm là một nghìn thì tại sao lại còn phân biệt cách đếm số lớn với số nhỏ. Cách đếm đó Tôn Tử gọi là Đại số pháp chú ý chữ đại ở đây là lớn, khác với chữ đại là thay (thay số bằng chữ trong đại số, Algèbre).
Người thứ hai là ông Nguyễn Hữu Chung (không biết có đỗ dạt gì không ) với Bản Cửu chương Lập thành tính pháp trước thời Vĩnh Thịnh.
2.- Tổ chức thi toán
Nhà nước Phong kiến xưa tổ chức các kỳ thi toán để chọn người làm việc lại (lại viên). Kẻ học để đi thi khoa cử không thi lại. Các kỳ thi này cũng không tổ chức định kỳ. Cứ 10 năm, hoặc 15 năm mới có một kỳ thi chọn lại viên.
Kỳ thi chọn lại viên được biết sớm nhất từ thời nhà Trần. Năm 1077, tháng 2 năm Đinh tỵ, đời Lý Nhân Tôn với các môn thi: Thư (viết chữ tốt ), Toán (toán pháp ), Hình luật.
Năm 1261, tháng 2 năm Tân Dậu đời Trần Thánh Tôn, thi lại viên với 2 môn Thư, Toán. Ai trúng được sung vào chức Nội lĩnh sử.
Các kỳ thi chọn lại viên tiếp theo được tổ chức vào các năm 1363, tháng 3 năm Quý Mão đời vua Trần Dụ Tôn; năm 1373, tháng 8 đời vua Trần Duệ Tôn, năm 1393, đời vua Trần Thuận Tôn có thể không thi môn toán.
Năm 1404, khi Hồ Hán Thương lên ngôi, thi chọn lại viên có môn toán.
Năm 1437, tháng giêng năm Đinh Tỵ đời vua Lê Thái Tôn có thi toán. 690 người trúng cử được bổ các chức ở các nha môn.
Tiếp theo, vào các năm 1475, 1477, 1483, 1507, 1572, 1722 và 1762 tháng 5, năm Nhâm Ngọ đời vua Lê Hiển Tôn là kỳ thi chọn lại viên cuối cùng có thi toán. Đặc biệt kỳ thi năm 1507, tháng chạp năm Bính Dần, đời vua Lê Uy Mục tổ chức thi Toán ở sân Điện Giảng Võ có hơn 3 vạn thí sinh, 1519 người trúng tuyển, trong đó Nguyễn Tử Khương đỗ đầu.
3.- Chương trình thi
Như đã nói ở trên, thi lại viên cốt chọn những người làm việc lại: coi việc sổ sách giấy má, tính sưu thuế, việc đạc điền (biết tính diện tích các đám ruộng), việc binh lương và các việc quốc dụng khác như tính thể tích con đê, thành, hào. Biết tính số gạch, gỗ, đều cần người biết làm toán.
Không biết chương trình thi Toán thời Trần có những gì, nhưng đến thời Lê, chương trình thi toán được quy định như sau:
Về số học có các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia được dùng bàn tính hoặc thẻ (trù toán). Các phép chia bình phân (chia đều), sai phân (chia tỷ lệ) khá phức tạp, có cả tạp số, ví dụ một mẫu = 10 sào, 1 sào = 15 thước. Ngoài ra thí sinh còn phải dùng đến cả phép khai phương (lấy căn bậc hai). Thí sinh thường dùng cuốn “Cửu chương lập thành tính pháp“ của ông Nguyễn Hữu Chung, trước thời Vĩnh Thịnh (1705 - 1719 ) để ôn luyện, có khi học thuộc lòng.
Về Hình học, chương trình gồm: tính diện tích các hình tự phương điền (hình vuông), trực điền (hình chữ nhật), thê điền (hình thang), khuê điền (thang cân), tà điền (tam giác thường), viên điền (hình tròn), thuẩn điền (hai cung úp vào nhau), hình bầu dục (Elip), mi điền (hình đường mày), cổ điền (hình trống).
Có một vấn đề chưa rõ là ngày xưa người ta tính diện tích các hình nói trên theo công thức nào? độ chính xác đến đâu? Đã biết dùng số pi chưa và độ chính xác đến mức nào. Rất tiếc là không có một đề thi hình học nào để tham khảo.
4.- Đề thi
Có lẽ tác giả không tìm được tư liệu, hoặc không có tư liệu về loại này nên chỉ trích một bài trong sách “Chỉ minh lập thành toán pháp” của ông Phan Huy Khuông, tự là Lã Phố (người làm vườn già ), người làng Đông Ngạc, huyện Từ Liêm, Hà Nội. Ông sinh vào thời Lê mạt. Sách ông soạn cốt để dạy con cháu trong nhà đi thi (sách luyện thi).
Sau đây là một bài mẫu (chỉ có phần số học, không có hình học), lời văn rườm rà, có chỗ thừa, từ ngữ cổ, xin chép lại nguyên văn để bạn đọc tham khảo.
Bài ra (Đầu bài):
Hỏi, nay được phụng ban vàng bạc cộng là 1000 cân. Số bạc ấy bản quan lĩnh, lượng chiếu số bạc 5292 lạng, để phát cho các viên thuộc ở bản dinh là 328 người. Nếu sẽ chia đều cho mọi người thì còn lẻ 4 phân, 8 ly, nghĩ sao hạ chia đều, lẽ chưa được phải. Vậy phép chia đều không thể dùng, lẽ đã rõ ràng. Nay muốn đem số tiền ấy chia cho bản thuộc theo phép “sai suy“ (hoặc sai phân, suy phân là phép chia theo tỷ lệ - giải thích của GS. HXH). Chia làm ba hạng: hạng Giáp 8 người, mỗi người được 7 phân; hạng Ất 20 người, mỗi người 5 phân; hạng Bính 300 người, mỗi người được 2 phân.
Như thế thì mỗi người được lĩnh bao nhiêu, và tính góp lại mỗi hạng được lĩnh bao nhiêu? Các thí sinh thi toán, học tập đã tinh thông; hãy tính toán, biên biệt; nên tường tận giãi bày, để tỏ điều hiểu rõ.
Trả lời (Đáp án):
Hạng Giáp được mỗi người 49 lạng, gộp thành 392 lạng. Hạng Ất mỗi người được 35 lạng, gộp thành 700 lạng. Hạng Bính mỗi người được 14 lạng, gộp thành 4200 lạng.
Để bạn đọc ngày nay không gặp rắc rối về ngôn từ và việc chuyển đổi các đơn vị, chúng tôi xin tóm tắt lại đầu bài:
Đem 5292 lạng bạc chia cho 328 người. Nếu chia đều cho mọi người thi còn lẻ 4 phân, 8 ly
(1 lạng = 100 phân, 1 phân = 10 ly, 5292 = 328 * 16.134 + 0.048).
Nên phải chia theo phép sai phân (chia theo tỷ lệ). Chia thành 3 loại:
Hạng Giáp 8 người, hạng Ất 20 người, hạng Bính 300 người. Mỗi người hạng Giáp, Ất, Bính tương ứng tỷ lệ với 7, 5, 2.
Hỏi mồi người được lĩnh bao nhiêu? và gộp lại mỗi hạng được bao nhiêu?
Chú ý: Bài ra có nhiều chỗ thừa: số vàng, bạc 1000 lạng vua ban và lý do việc chia đều không hết (còn dư 4 phân, 8 ly) là không cần thiết.
Bài giải mẫu của bài toán này do ông Phan Huy Khuông đưa ra quá dài, văn cổ, nên chúng tôi không muốn chép ra sợ làm phiền bạn đọc.
Qua bài Thi Toán đời xưa, điều dễ nhận thấy là: Toán học du nhập vào nước ta khá sớm và ngay từ thời Trần (thế kỷ 11) đã tổ chức được các kỳ thi toán, tuy nhiên nền toán học nước ta xưa vừa thấp lại không phát triển. Kiến thức toán từ Trung Hoa du nhập vào ta ngoài Bản cưủ chương và cách đếm số ra còn có gì nữa không? Theo GS. HXH, “Ở đời Đường, toán học bên Trung Hoa đã bành trướng đến cực Tây, mà nay ta còn có tủ sách cũ “.
Tình hình đó có thể do các nguyên nhân:
+ Việc học Toán, thi toán ở ta thời xưa quá xem nhẹ. Nhà nước và xã hội coi khinh những người làm công việc tính toán (lại viên). Kẻ lại ngày xưa cho là thấp hèn. Tác giả trích lời của Phan Huy Chú trong Lịch triều hiến chương rằng: “Xét ra chức nha, lại cho là hèn thấp. Việc kiểm soát sổ sách không giao cho kẻ sĩ. Kẻ sĩ làm văn, cho việc lại là ti tiện nên không nhúng tay vào“.
Những người thông minh, tài giỏi, được học hành tử tế (kẻ sĩ) coi khinh toán học thì lấy đâu ra các nhà toán học.
+ Các công trình, các sách toán không được in ấn hoặc có nhưng không được lưu giữ thì lấy đâu ra tài liệu mà học (!).
Chúng ta đã tôn vinh Trạng nguyên Lương Thế Vinh (Trạng Lường), trạng nguyên Vũ Hữu, xem như hai nhà toán học Việt Nam xưa bằng nhiều hình thức, nhưng việc sưu tầm, công bố các đóng góp về lĩnh vực toán học của các vị đó cho đời lại không thấy ai làm. Hoặc đã có mà không giữ lại được.
Hà nội 10/01/2007
TS. Trần Đình Viện
