Hỏi Thế nào là hiện tượng tuần hoàn trong các dãy số?

[Trang Dimple]

Hiện tượng tuần hoàn khá phổ biến trong một loạt các dãy số, nếu ta chú ý một chút có thể phát hiện được các chu kì tuần hoàn trong các dãy số.

​

Ví dụ với các luỹ thừa của các số tự nhiên với số mũ lớn hơn 5, người ta thấy có sự lặp đi lặp lại chữ số cuối. Luỹ thừa bậc 5 của 2 là 32, chữ số cuối cùng là 2, luỹ thừa bậc 5 của 3 là 243, chữ số cuối là 3; luỹ thừa bậc 5 của 7, không cần tính ta có thể dự đoán chữ số cuối là 7...

Quan sát các chữ số cuối của các bình phương các số từ 1 đến 9 ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có các chữ số cuối lập thành dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Tất cả các bình phương của các số tự nhiên có các chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hoàn này, hiện tượng lặp đi lặp lại vô số lần. Vòng lặp đi lặp lại này có số 0 làm ranh giới.

Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9 mà không thể là các chữ số khác. Người ta gọi “số gốc” của một số là chỉ con số thu được khi cộng dần các chữ số có trong con số, khi tổng số gặp số 9 thì bỏ đi và tính tổng tiếp nếu gặp số 9 lại bỏ đi đến khi còn lại số cuối cùng nhỏ hơn 9 thì giữ lại, chữ số còn lại là “số gốc” của con số đã xét. Như vậy “số gốc” chính là kết quả phép tính cộng dồn các chữ số có trong một con số, lấy số 9 làm điểm dừng. Ví dụ “số gốc” của 135 là 9, số gốc của số 246 là 3...

Ứng dụng tính chất vừa nêu ta có thể phán đoán một số có phải là một số chính phương (bình phương của một số nào đó) hay không. Ví dụ xét xem số 98765432123456789 có phải là một chính phương hay không? Ta tìm số gốc của con số vừa đưa ra và thấy số đó có số gốc là 8 mà không phải là một trong các chữ số 1, 4, 7, 9. Vậy con số vừa nêu không phải là số chính phương.

Số gốc của một chính phương không chỉ có đặc tính vừa nêu mà còn thành lập dãy số tuần hoàn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là 9 chứ không phải số 0 như ở các chu kì khác. Dưới đây là một dãy làm ví dụ:

100 (bình phương của số 10) có số gốc là 1.

121 (bình phương của số 11) có số gốc là 4.

144 (bình phương của số 12) có số gốc là 9.

169 (bình phương của số 13) có số gốc là 7.

196 (bình phương của số 14) có số gốc là 7.

225 (bình phương của số 15) có số gốc là 9.

256 (bình phương của số 16) có số gốc là 4.

324 (bình phương của số 18) có số gốc là 9 (ranh giới của chu kì).

361 (bình phương của số 19) có số gốc là 1 (chu kì lặp lại).

Tính chất này của các bình phương không chỉ rất thú vị mà có giá trị thực tiễn lớn. Vận dụng linh hoạt tính chất này có thể nắm chắc được các mẹo nhỏ trong tính toán nhanh.


Nguồn : 10 vạn câu hỏi vì sao về toán học - Dịch giả: Nguyễn Văn Mậu -Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

 

[Trang Dimple]

Chúng ta hãy làm một cuộc du lịch thú vị vào thế giới những con số. Mời các bạn tuỳ ý viết một con số có ba chữ số (phải có các chữ số không hoàn toàn giống nhau) sau đó sắp xếp các chữ số trong con số từ lớn đến bé ta sẽ thu được một số mới. Sau đó lại sắp xếp các chữ số trong số vừa thu được theo thứ tự ngược lại từ bé đến lớn ta lại được một số khác. Tìm hiệu số của hai số vừa mới nhận được. Lặp lại các bước như vừa tiến hành với hiệu số vừa mới nhận được. Xét xem bạn sẽ nhận được kết quả như thế nào:


Ví dụ chọn số 323. Sau bước sắp xếp thứ nhất ra có các số 332, sau bước thứ hai sẽ là số 233. Hiệu số của hai số này sẽ là 099. (Số 099 cũng là số có 3 chữ số). Lại tiếp tục thao tác các bước tiếp theo và tiếp tục thu nhận được các số 990 - 099 = 891; 981 - 189 = 792; 792 - 279 = 693; 693 - 396 = 594; 954 - 459 = 495; 954 - 495 = 495... Sau một số bước biến đổi con số đưa ra ban đầu đã chui vào “túi” và dừng lại ở số 495.

Thế với các số 4 chữ số thì sẽ ra sao? Kết quả được khẳng định là với các số có 4 chữ số thì các bước biến đổi sẽ dừng lại ở số 6174. Điều này dường như các loại số đã nêu trên đã chui vào các “hố đen” trong toán học và không ra khỏi được nữa.

Nhà toán học Liên Xô cũ Kasimov trong sách “Cảm nhận toán học” đã từng viết “Đây là bí mật không có lời giải”.

Người ta cho rằng “hố đen” không chỉ có một số mà có thể có nhiều số xuất hiện như các hình trong đèn kéo quân hoặc giống như hình tượng Tôn Ngộ Không lạc vào bàn tay của Phật tổ Như Lai.

Ví như các số có năm chữ số người ta phát hiện hai “dãy” đó là: {63954, 61794, 62962, 75933} và {62964, 71973, 83952, 74943}. Nếu các bạn thấy có hứng thú thì hãy thử xem.

Nguồn : 10 vạn câu hỏi vì sao về toán học - Dịch giả: Nguyễn Văn Mậu -Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam