PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Đường thẳng trong mặt phẳng
I.Phương trình tổng quát của đường thẳng:
A.Các kiến thức cơ bản:
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
\[ax+by+c=0\;(a^2+b^2\not=0)\]
\[\vec{n}=(a; b)\] là một vectơ pháp tuyến.
2. Đường thẳng đi qua điểm \[M(x_0; y_0)\] nhận vectơ \[\vec{n}=(a; b)\] làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
\[a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\]
3. Đường thẳng cắt trục \[Ox\] tại điểm \[A(a; 0)\] và \[Oy\] tại điểm \[B(0; b)\qquad (ab\not=0)\] có phương trình theo đoạn chắn:
\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\].
4. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc có dạng \[y=kx+b\], trong đó \[k=\tan\alpha\] với \[\alpha\] là góc giữa tia \[Mt\] (phần của đường thẳng nằm phía trên \[Ox\]) với tia \[Mx\].
5. Đường thẳng qua điểm \[M(x_0; y_0)\] và có hệ số góc \[k\] sẽ có phương trình:
\[y-y_0=k(x-x_0)\]
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \[\Delta_1:\quad a_1x+b_1y+c_1=0\] và \[\Delta_2:\quad a_2x+b_2y+c_2=0\]. Toạ độ giao điểm của \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] là nghiệm của hệ:
\[\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2=0\end{cases}\]
a) Nếu \[\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\] thì \[\Delta_1\equiv\Delta_2 \]
b) Nếu \[\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\] thì \[\Delta_1\parallel\Delta_2 \]
c) Nếu \[\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\] thì \[\Delta_1\] cắt \[\Delta_2 \].
Đường thẳng đi qua giao điểm của \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] có dạng:
\[\lambda (a_1x+b_1y+c_1)+\mu (a_2x+b_2y+c_2)=0\]
B. Bài tập:
Bài 1:
Viết phương trình các đường cao của tam giác \[ABC\] biết \[A(-1; 2),\quad ;B(2; -4),\quad ;C(1; 0)\].
Baì 2:
Viết phương trình các đường trung trực của tam giác \[ABC\] biết \[M(-1; 1),\quad ;N(1; 9),\quad ;P(9; 1)\] là các trung điểm của ba cạnh tam giác.
Bài 3:
Cho đường thẳng \[\Delta : ax+by+c=0 \]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta '\] đối xứng của đường thẳng \[\Delta\]:
a) Qua trục hoành.
b) Qua trục tung.
c) Qua gốc toạ độ.
Bài 4:
Cho điểm \[A(1; 3)\] và đường thẳng \[\Delta : x-2y+1=0\]. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với \[\Delta\] qua \[A\].
Bài 5:
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \[d_1:\quad 2x-5y+6=0\] và \[d_2:\quad -x+y-3=0\]
b) \[d_1:\quad -3x+2y-7=0\] và \[d_2: 6x-4y-7=0\]
c) \[d_1:\quad \sqrt{2}x+y-3=0\] và \[d_2:\quad 2x+\sqrt{2}y-3\sqrt{2}=0\]
d) \[d_1:\quad (m-1)x+my+1=0\] và \[d_2: 2x+y-4=0\]
Bài 6:
Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo \[m\]
\[\Delta_1:\quad 4x-my+4-m=0\]
\[\Delta_2:\quad (2m+6)x+y-2m-1=0\]
Bài 7:
Cho điểm \[A(-1; 3)\] và đường thẳng \[\Delta:\quad x-2y+2=0\]. Dựng hình vuông \[ABCD\] sao cho hai điểm \[B, C\] nằm trên \[\Delta\] và các toạ độ của đỉnh \[C\] đều dương.
a) Tìm toạ độ các đỉnh \[B, D, C\].
b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông \[ABCD\].
Bài 8:
Chứng minh rằng diện tích \[S\] của tam giác tạo bởi đường thẳng \[\Delta:\quad ax+by+c=0\] (với \[a, b, c\neq 0\]) với các trục toạ độ được tính bởi công thức: \[S=\frac{c^2}{2|ab|}\].
Bài 9:
Lập phương trình đường thẳng \[\Delta\] đi qua \[P(6; 4)\] và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Bài 10:
Lập phương trình đường thẳng \[\Delta\] đi qua \[Q(2; 3)\] và cắt các tia \[Ox, Oy\] tại hai điểm \[M, N\] khác điểm \[O\] sao cho \[OM+ON\] nhỏ nhất.
Bài 11:
Cho điểm \[M(a; b)\] với \[a>0, b>0\]. Viết phương trình đường thẳng đi qua \[M\] và cắt các tia \[Ox, Oy\] tại hai điểm \[A, B\] sao cho tam giác \[OAB\] có diện tích nhỏ nhất.
Bài 12:
Cho đường thẳng \[d_1:\quad 2x-y-2=0, \qquad d_2:\quad x+y+3=0\] và điểm \[M(3; 0)\].
a) Tìm toạ độ giao điểm của \[d_1\[ và \[d_2\].
b) Viết phương trình đường thẳng \[\Delta\] đi qua \[M\], cắt \[d_1, d_2\] lần lượt tại hai điểm \[A, B\] sao cho \[M\] là trung điểm đoạn \[AB\].
Bài 13:
Cho tam giác \[ABC\] có \[A(0; 0), B(2; 4), C(6; 0)\] và các điểm \[M\] trên cạnh \[AB\], \[N\] trên cạnh \[BC\], \[P\] và \[Q\] trên cạnh \[AC\] sao cho \[MNPQơ/tex] là hình vuông.
Tìm toạ độ các điểm \[M, N, P, Q\].
