Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

[Hai Trieu Kr]

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng quan trọng của hình học không gian. Dạng này sẽ có phương pháp tìm góc riêng, cần luyện nhiều bài tập để rèn thêm các kỹ năng. Nắm vững các công thức và hệ thức lượng trong một tam giác để tính toán yêu cầu của đề bài. Đây là một dạng cần lưu ý vì xuất hiện trong đề thi THPTQG.


I. LÝ THUYẾT

* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi: chính đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

​

* Phương pháp tìm:
Bước 1: Tìm điểm chung.
Bước 2: Từ điểm còn lại, hạ vuông góc xuống mặt kia.
Bước 3: Nối lại điểm chung (Chèn điểm chung vào giữa)
=> Góc ở điểm chung.
* Cách tính
+ Muốn tính 1 góc hãy xét tam giác vuông có cùng tên với góc đó.
+ Muốn tính góc thì tam giác phải có 2 cạnh
+ Pytago
+ sin=doi/huyen, cos=ke/huyen, tan=doi/ke

II. BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên
SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông tại B.
a) Xác định góc giữa cạnh SB và mặt phẳng (ABC).
b) Xác định góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABC).
c) Xác định góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (SAB).

Giải
a) Bước 1: Tìm điểm chung: SB giao với (ABC) = {B}
Bước 2: Từ S hạ SA vuông góc (ABC)
Bước 3: Nối lại điểm chung. Góc cần tìm là SBA.

b) Bước 1: Tìm điểm chung: SC giao với (ABC) = {C}
Bước 2: Từ S hạ SA vuông góc với (ABC)
Bước 3: Nối lại điểm chung. Góc cần tìm là SCA.

c) Bước 1: Tìm điểm chung: SC giao với (SAB) = {S}
Bước 2: Từ S hạ CB vuông góc (SAB). (Vì
CB vuông góc với AB, CB vuông góc với SA)
Bước 3: Nối lại điểm chung. Góc cần tìm là CSB

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA
vuông góc với đáy. Đáy là hình vuông tâm
O.
a) Xác định góc giữa đường thẳng SO và mặt (ABCD).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt (SAD).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SB
và mặt (SAC).

Giải
a) SO và (ABCD).
+ Điểm chung O.
+ Từ S hạ SA vuông góc (ABCD).
+ Góc SOA.

b) SC và (SAD).
+ Điểm chung S.
+ Từ C hạ CD vuông góc (SAD) (vì CD vuông góc AD, CD vuông góc SA ).
+ Góc CSD.

c) SB và (SAC).
+ Điểm chung S.
+ Từ B hạ BO vuông góc (SAC). (vì BO vuông góc AC, BO vuông góc SA).
+ Góc BSO.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy. Biết đáy là hình vuông cạnh a, cho SA a = 3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng sau:
a) SC và (ABCD)
b) SC và (SAD)
c) AC và (SBC)

Giải
a) Góc giữa SC và (ABCD) là SCA.
+ Xét tam giác vuông SCA:

b) Góc giữa SC và (SAD) là CSD.
+ Xét tam giác vuông
SCD: SD^2 = SA^2 + AD^2 = 4a^2 => SD = 2a.
+ Xét tam giác vuông

c) Góc giữa AC và (SBC).
Bước 1: Chung: C .
Bước 2: Từ A kẻ AH vuông (SBC).
Chứng minh AH vuông (SBC).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2a, AD=a. Gọi hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H trung điểm của AB. Biết SD=2a. Tính góc tạo với SD và (ABCD).

Giải
* Góc giữa SD và (ABCD) .
+ Bước 1: Chung D.
+ Bước 2: S hạ SH vuông (ABCD).
Góc cần tìm SDH .
* Xét tam giác vuông SDH:
cos D=DH/SD => D=45°

Sưu tầm