Phương pháp liên hợp trong bài toán phương trình vô tỷ - Ứng dụng trong các bài toán hệ phương trình

[Phong Cầm]

Chào các bạn.
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một trong những vấn đề được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đấy với các bạn học sinh cấp 3 ôn thi ĐH.
Trong vài năm gần đây, các kỳ thi ĐH thường sử dụng phần câu hỏi này để phân loại học sinh khá giỏi.
Mình làm topic này với mục đích làm nơi giao lưu chia sẻ kinh nghiệm giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Từ đó giúp các bạn học sinh có một nguồn tài liệu để tham khảo, chuẩn bị kiến thức thật tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.
Như tiêu đề topic, Mở đầu mình xin được trình bày về phương pháp liên hợp trong các bài toán phương trình vô tỷ.
Tài liệu được dùng trong trung tâm bên mình đang làm việc
View attachment 15776
View attachment 15777
View attachment 15778
View attachment 15779
View attachment 15780
View attachment 15781

 

[Phong Cầm]

Ứng dụng phương pháp liên hợp trong bài toán giải hệ phương trình:
View attachment 15782
View attachment 15783

Youth Center

 

[HuyNam]

Ví dụ:

Cho hàm số

, xác định trên

Ta biết nghiệm phương trình

Mà theo định lí Bơzu nếu

là nghiệm của đa thức

thì

. Từ đây ta có nhận xét:
Nếu

là một nghiệm của phương trình

thì ta có thể đưa phương trình

về dạng

và khi đó việc giải phương trình

quy về giải phương trình

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Giải: Điều kiện :

Ta thấy

là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến

vì khi đó

là những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng:

nên ta biến đổi phương trình như sau:

, vấn đề còn lại của chúng ta là phải phân tích

ra thừa số (Chú ý khi

thì

, vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng

điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức :

nên ta biến đổi :

Suy ra phương trình

đến đây ta chỉ cần giải phương trình:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

và

Nhận xét:

1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:

hai biểu thức

và

ta gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.

2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES

 

[Phong Cầm]

Ví dụ 2: Phương pháp liên hợp:
View attachment 15785
Ví dụ 2 trong phương pháp liên hợp. Ví dụ hướng tới tư duy liên hợp của bài toán hệ phương trình. Chứ không còn là tư duy đơn thuần của phương pháp liên hợp trong các bài toán giải phương trình bình thường.

 

[Phong Cầm]

VD3. Phương pháp liên hợp trong các bài toán giải hệ phương trình.
View attachment 15786
Muốn thực hiện phương pháp liên hợp, Bạn phải chắc chắn rằng: Biểu thức liên hợp phải khác không.
Đây là một trong các lỗi mà người giải rất hay quên.