PHƯƠNG PHÁP DÂN GIAN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DÂN GIAN
Bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những bài toán đơn giản. Bài toán này đã được trình bày trong chương trình học lớp 9 và lớp 10 hiện nay. Phương pháp giải bài toán bằng cách đặt ẩn phù hợp rồi lập hệ phương trình và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn này thật không khó ngay cả với những học sinh trung bình. Tuy nhiên, khi chưa tìm ra phương pháp giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì liệu con người cổ xưa đã tìm ra cách giải nào chưa? Đó là một câu hỏi nếu ai thực sự hứng thú với việc tìm hiểu và nghiên cứu về Toán học vì trong thực tế những bài toán cổ như bài toán “vừa gà vừa chó” đã ra đời từ rất lâu. Và nếu có liệu có một phương pháp chung nhất để có thể giải một hệ các bài toán cùng loại?
Thật là một sự thú vị khi biết về phương pháp giải dân gian của một số bài toán. Sau đây tôi xin nêu ví dụ về một bài toán mà hầu như ai cũng đã từng biết qua.
1. Bài toán “Vừa gà vừa chó”:
Đề bài:
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Có ba sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó.
Lời giải:
Trước hết tôi xin giải bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Gọi số gà là \[x\] (con), số chó là \[y\] (con) thì điều kiện của hai ẩn \[x\] và \[y\] là không âm (\[x,y\ge 0\])
Căn cứ dữ liệu bài toán ta có hệ phương trình sau:
\[\left{ x+y=36 \\ 2x+4y=100\]
Bằng các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (Thế, cộng đại số, dùng định thức cấp hai…) ta được kết quả là:
\[\left{ x=22 \\ y=14\]
Vậy có \[22\] con gà và \[14\] con chó.
Bây giờ tôi xin giải bằng phương pháp lập luận mà bất kỳ người nào, kể cả những người chưa từng biết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là thế nào cũng có thể hiểu được nếu như họ đã biết các phép toán thông thường là cộng, trừ, nhân, chia như sau:
Giả sử \[36\] con đều là gà thì số chân của \[36\] con gà này sẽ là: \[36.2=72\] (chân).
Khi đó số chân của bài toán thừa ra là \[100-72=28\] (chân)
Ta cũng biết mỗi con chó hơn con gà hai chân, nói cách khác nếu thêm hai chân cho mỗi con gà thì ta được một con chó. Như vậy ta lấy \[28\] chân đem thêm vào cho \[14\] con gà là vừa đủ. \[14\] con gà này sẽ trở thành \[14\] con chó. Số gà còn lại sẽ là \[36-14=22\] (con).
Như vậy ta đã đi đến kết quả cần tìm mà không cần lập hệ phương trình. Tôi đoán rằng trước đây, khi chưa biết cách lập hệ phương trình, hoặc ngay cả khi đã biết cách giải bằng cách lập hệ phương trình thì trong dân gian vẫn lưu truyền cách giải này vì không phải ai cũng học và được học về hệ phương trình.
2. Bài toán dân gian Thanh Hóa:
Bài toán thứ hai là một bài toán cũng không kém phần mang tính dân gian, tôi nghe đồn rằng bài toán xuất phát từ Thanh Hóa, cũng không biết có đúng hay không.
Đề bài:
Nhà kia con gái đi lấy chồng
Họ hàng khách khứa rất là đông
Năm người một cỗ thừa một cỗ
Bốn người một cỗ bốn người không
Hỏi rằng cỗ dọn bao nhiêu nhỉ?
Gia chủ liệu mời khách có đông?
Lời giải:
Về phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì tôi không nhắc lại nữa. Ở đây tôi xin nêu lời giải của một lão nông như sau:
Ban đầu gia chủ xếp \[4\] người ngồi một mâm cỗ, vậy theo bài toán thì có \[4\] người không được ăn ngồi ở một góc sân.
Chẳng hiểu anh chàng bưng bê có giận gì gia chủ hay khách khứa gọi vội mà làm đổ một mâm cỗ, như vậy thêm \[4\] người nữa không có cỗ. Vậy tổng cộng là \[8\] người phải ngồi uống nước.
Tuy nhiên, gia chủ rất nhanh trí liền xếp thêm vào mỗi mâm một người thành \[5\] người ngồi một mâm. Theo đề bài ra thì như vậy là vừa đủ không ai phải ngồi uống nước cả.
Như vậy có \[8\] người xếp vào \[8\] mâm cỗ thì vừa đủ tức là có \[8\] mâm cỗ và \[40\] người khách đang ngồi ăn. Tính thêm một mâm bị đổ thì rõ ràng nhà chủ đã chuẩn bị tổng cộng \[9\] mâm cỗ, số khách khứa mời đến sẽ là \[40\] người.
Theo tôi đây là một lời giải rất dí dỏm và thuyết phục mặc dù không cần nhiều đến kiến thức về toán học ngoài các phép tính đơn giản. Như vậy liệu cách này có thể giải được hệ các bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?. Các bạn có thể thử lập luận với các bài toán khác xem sao.
Một vấn đề khác đặt ra sau khi tìm hiểu về phương pháp giải dân gian này là tôi chưa biết có cách giải bằng cách lập luận tương tự áp dụng với các bài toán nhiều ẩn hơn hay không, bài toán “Trăm trâu trăm cỏ” chẳng hạn. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và nếu có kết quả thì sẽ trình bày trước các bạn khi có thể.
Bạn có thể tải văn bản tại đây:
Nguoidien - vnkienthuc.com
