Ôn tập kiến thức đại số 9

[bomkute1996th]

Chứng minh rằng:Nếu phương trình \[{x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+ax+1=0\] có nghiệm thì \[{a}^{2}+{b}^{2}\geq \frac{4}{5}\]

 

[NguoiDien]

Chứng minh rằng:Nếu phương trình \[{x}^{4}+a{x}^{3}+b{x}^{2}+ax+1=0\quad (1)\] có nghiệm thì \[{a}^{2}+{b}^{2}\geq \frac{4}{5}\]

Dễ dàng nhận thấy \[x=0\] không thỏa mãn phương trình, chia hai vế phương trình cho \[x^2\] ta được:

\[(x^2+\frac{1}{x^2})+a(x+\frac{1}{x})+b=0\]

\[\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})+b-2=0\]

Đặt \[t=x+\frac{1}{x}\] thì điều kiện có nghiệm \[x\] là \[|t|\geq 2\]

Khi đó phương trình trở thành:

\[t^2+at+b-2=0\quad (2)\]

Phương trình \[(1)\] có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \[(2)\] có nghiệm thỏa mãn \[|t|\geq 2\].

Đến đây em tự giải được chứ?

 

[light_future96]

Dễ dàng nhận thấy \[x=0\] không thỏa mãn phương trình, chia hai vế phương trình cho \[x^2\] ta được:

\[(x^2+\frac{1}{x^2})+a(x+\frac{1}{x})+b=0\]

\[\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})+b-2=0\]

Đặt \[t=x+\frac{1}{x}\] thì điều kiện có nghiệm \[x\] là \[|t|\geq 2\]

Khi đó phương trình trở thành:

\[t^2+at+b-2=0\quad (2)\]

Phương trình \[(1)\] có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \[(2)\] có nghiệm thỏa mãn \[|t|\geq 2\].

Đến đây em tự giải được chứ?

Giải tiếp bác nhá


\[(2)\Leftrightarrow {t}^{2}-2 = -(at+b)\]
\[ \Leftrightarrow {{t}^{2}-2}^{2}=(at+b)^2(3)\]
Áp dụng BĐT Bu nhi ta có
\[(at+b)^2\leq (a^2+b^2)(t^2+1)(4)\]
Từ (3) và (4) \[\Rightarrow (a^2+b^2)\geq \frac{{{t}^{2}-2}^{2}}{t^2+1}\]
Cần chứng minh:\[ \frac{{{t}^{2}-2}^{2}}{t^2+1}\geq \frac{4}{5}(*)\]
Thật vậy:
\[(*)\Leftrightarrow 5(t^2-2)^2 \geq 4(t^2+1)\]
\[\Leftrightarrow 5t^4-24t^2+16\geq 0\]
\[\Leftrightarrow (t^2-4)(5t^2-5)\geq 0(**)\]
Mà \[|t|\geq 2\] nên (**) đúng \[\Rightarrow\] (*) đúng
Vậy BĐT đã cho được chứng minh

 

[HarryPotter7]

ko nhầm thì pt này giống pt hệ số đối xứng bậc 4 thì phải