Hai Trieu Kr
Moderator
- Xu
- 28,899
Một kẻ mất ngủ, đếm những con cừu tưởng tượng để cố ngủ, sẽ không bao giờ hết số tự nhiên để thực hiện công việc: 1, 2, 3,…. Không có ràng buộc nào trên tập hợp các số tự nhiên. Có lẽ là một suy nghĩ tự nhiên rằng chỉ có một vô cực để đếm các tập hợp vô hạn, mà chúng ta có thể ký hiệu là ‘∞’. Có thể nói gì về khoảng cách giữa các phần vô hạn và phần vô hạn kéo dài bao xa? Bạn có bao giờ thắc mắc những điều liên quan đến sự lớn nhỏ của vô cực hay không ? Có sự so sánh giữa các vô cực hay không ? Nhà toán học Georg Cantor đã trả lời cho điều này, phân chia ra vô hạn có thể đếm được và không đếm được. Tuy nhiên cuộc sống của ông nhiều thăng trầm và vô cùng vất vả.
1. Nhà toán học Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một lý thuyết đã trở thành một lý thuyết nền tảng trong toán học. Năm 1890, Cantor đóng vai trò quan trọng trong việc thành lập Hội Toán học Đức và chủ trì phiên họp đầu tiên của hội tại Halle năm 1891, nơi ông lần đầu tiên giới thiệu luận cứ chéo của mình, danh tiếng ông đã đủ mạnh, bất chấp sự phản đối của Kronecker, để đảm bảo cho ông được bầu làm chủ tịch đầu tiên của hội. Ông mất ngày 6 tháng 1 năm 1918 do một cơn đau tim đột ngột tại viện an dưỡng.
Georg Cantor (1845 - 1918)
2. Nghịch lý vô cực của Cantor
Nhớ lại nghịch lý của Galileo về vô hạn, dựa trên sự va chạm của trực giác bán phần và trực giác hai mặt, và kết luận của ông rằng người ta không thể áp dụng các quan hệ của "nhỏ hơn", "bằng nhau" và "lớn hơn" cho các tập hợp vô hạn. Tính chính thống toán học hiện đại, thể hiện trong lý thuyết tập hợp đương đại, bác bỏ kết luận của Galileo. Tính chính thống đó dựa trên trực giác hai mặt, theo Cantor hơn là Euclid và Bolzano. Khi có sự phân đôi giữa hai tập hợp, chúng ta nói rằng chúng có cùng một bản số. Khái niệm về bản chất không tôn trọng trực giác một phần toàn bộ. Ví dụ, các bình phương của số tự nhiên là một tập hợp con thích hợp của các số tự nhiên, nhưng chúng có cùng một bản số vì chúng có thể được đặt trong sự tương ứng 1-1.
Lý thuyết hiện đại về số vô hạn của phép đếm bắt nguồn từ Cantor (1932). Ông nhận thấy rằng một cách tự nhiên để thiết lập một phép phân đôi giữa các tập hợp hữu hạn là sắp xếp thứ tự các phần tử của mỗi tập hợp và ghép phần tử đầu tiên của một tập hợp với phần tử đầu tiên của tập hợp kia, phần tử thứ hai của một tập hợp với phần tử thứ hai của tập hợp kia, và như thế. Điều này đôi khi hoạt động với các tập hợp vô hạn — ví dụ, nó tạo ra sự tương ứng 1-1 giữa các số tự nhiên và các hình vuông (được xem xét theo thứ tự tiêu chuẩn của chúng). Khi có sự tương ứng một-một giữa hai tập hợp, sao cho mọi cặp phần tử của một tập hợp có cùng thứ tự với cặp phần tử tương ứng của tập hợp kia, thì hai tập hợp có thứ tự được cho là có cùng một kiểu thứ tự.
Mô hình của Cantor (Nguồn: Internet)
Nhưng đối với một số tập hợp vô hạn (đặc biệt là tập hợp tất cả các số nguyên, bao gồm cả số âm và cả tập hợp các số hữu tỉ) thì không có phần tử đầu tiên theo thứ tự chuẩn của chúng. Trong trường hợp này, có thể sắp xếp lại thứ tự các phần tử của tập hợp sao cho mọi tập hợp con không rỗng đều có phần tử đầu tiên, để quá trình này hoạt động. Một thứ tự như vậy được gọi là một thứ tự tốt.
Chúng ta có thể sắp xếp lại thứ tự các số nguyên, xen kẽ giữa dương và âm: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,…. Thứ tự này có cùng kiểu thứ tự với các số tự nhiên và do đó cho phép sự tương ứng 1-1 giữa số tự nhiên và số nguyên. Một trong những quan sát ban đầu nổi bật nhất của Cantor là điều tương tự cũng có thể xảy ra với các số hữu tỉ dương. Mọi số hữu tỉ dương đều có thể được viết duy nhất ở các số hạng thấp nhất dưới dạng một số phân số P/q, ở đâu P và q là các số nguyên dương không có nhân tử chung. Sau đó, chúng ta có thể sắp xếp thứ tự các phân số này bằng cách so sánh tổng P + q của tử số và mẫu số, sau đó nếu tổng của hai phân số bằng nhau, hãy đặt một phân số có tử số thấp hơn P. Thứ tự này bắt đầu từ 1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 1/5, 5, 1/6, 2/5, 3/4, 4 / 3, 5/2, 6,…. (Lưu ý rằng các phân số như 2/2, 2/4, 3/3, 4/2, bị thiếu trong danh sách này, vì chúng không được viết bằng các số hạng thấp nhất.) Mọi số hữu tỉ dương phải xuất hiện trong danh sách này (vì nó có thể được viết ở các số hạng thấp nhất với một số tổng hữu hạn cụ thể của tử số và mẫu số), và chỉ có rất nhiều giá trị tiền nhiệm (vì có nhiều nhất N + 1 phân số có tổng tử số và mẫu số là N).
Mô hình của Cantor (Nguồn: Internet)
Tuy nhiên, Cantor cũng nhận thấy rằng các tổ hợp tốt khác nhau của cùng một tập hợp vô hạn giống nhau sẽ tạo ra một kiểu thứ tự khác nhau. Ví dụ, chúng ta có thể xác định thứ tự trên các số nguyên trong đó mọi số nguyên không âm đứng trước mọi số nguyên âm, với bất kỳ hai số nguyên cùng dấu nào được sắp xếp theo giá trị tuyệt đối của chúng. Để đại diện cho thứ tự này, chúng tôi có thể viết nó là 0,1,2,3,…,-1,-2,-3,…. Theo thứ tự này, mọi tập hợp con không rỗng vẫn có phần tử đầu tiên (phần tử không âm có giá trị tuyệt đối thấp nhất nếu nó chứa bất kỳ phần tử nào không âm và phần tử âm có giá trị tuyệt đối thấp nhất nếu nó chỉ chứa phần tử âm). Nếu chúng ta ghép phần tử đầu tiên của thứ tự này với phần tử đầu tiên của thứ tự chuẩn trên các số tự nhiên và phần tử thứ hai với phần tử thứ hai và phần tử thứ ba với phần tử thứ ba, v.v., thì các số nguyên âm sẽ không được ghép nối với bất kỳ số tự nhiên. Nhưng chúng ta có thể xếp các số tự nhiên vào cùng một loại thứ tự bằng cách khai báo các số lẻ đứng trước các số chẵn và sắp xếp chúng theo kích thước trong hai tập hợp sau: 1,3,5,…,0,2,4,…. Một tập hợp vô hạn đơn lẻ có thể được cung cấp các chuỗi sắp xếp thuộc nhiều kiểu thứ tự khác nhau và cũng có thể cho các chuỗi sắp xếp khác nhau của cùng một kiểu thứ tự (ví dụ: nếu chúng ta đặt các số chẵn trước và các số lẻ thứ hai).
Cantor lưu ý rằng đối với bất kỳ hai tập hợp có thứ tự nào, các vị trí ban đầu trong một thứ tự (đầu tiên, thứ hai, thứ ba, v.v.) tương ứng với các vị trí ban đầu trong tập hợp kia, theo cách mà chúng thực hiện đối với các tập hợp hữu hạn. Trên thực tế, ông đã chỉ ra rằng tất cả các vị trí của một thứ tự tốt phải tương ứng với các vị trí ban đầu trong cái kia. (Nếu điều này không đúng, thì tập hợp các vị trí trong một tập hợp không tương ứng với các vị trí trong tập hợp kia sẽ không trống cho mỗi tập hợp và các phần tử đầu tiên của các tập hợp này sẽ tương ứng, điều này mâu thuẫn với tuyên bố rằng các vị trí này không tương ứng.) Do đó, có một danh sách tất cả các vị trí có thể có trong các tập hợp có thứ tự tốt, bắt đầu bằng các vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba, v.v. và những vị trí này được gọi là số thứ tự. Một tập hợp có thứ tự tốt có thể nói là có số thứ tự riêng của nó, là số thứ tự đầu tiên không tương ứng với một vị trí trong tập hợp đó.
Bài viết được lược dịch từ nhiều nguồn.
1. Nhà toán học Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor là một nhà toán học người Đức, được biết đến nhiều nhất với tư cách cha đẻ của lý thuyết tập hợp, một lý thuyết đã trở thành một lý thuyết nền tảng trong toán học. Năm 1890, Cantor đóng vai trò quan trọng trong việc thành lập Hội Toán học Đức và chủ trì phiên họp đầu tiên của hội tại Halle năm 1891, nơi ông lần đầu tiên giới thiệu luận cứ chéo của mình, danh tiếng ông đã đủ mạnh, bất chấp sự phản đối của Kronecker, để đảm bảo cho ông được bầu làm chủ tịch đầu tiên của hội. Ông mất ngày 6 tháng 1 năm 1918 do một cơn đau tim đột ngột tại viện an dưỡng.
Georg Cantor (1845 - 1918)
2. Nghịch lý vô cực của Cantor
Nhớ lại nghịch lý của Galileo về vô hạn, dựa trên sự va chạm của trực giác bán phần và trực giác hai mặt, và kết luận của ông rằng người ta không thể áp dụng các quan hệ của "nhỏ hơn", "bằng nhau" và "lớn hơn" cho các tập hợp vô hạn. Tính chính thống toán học hiện đại, thể hiện trong lý thuyết tập hợp đương đại, bác bỏ kết luận của Galileo. Tính chính thống đó dựa trên trực giác hai mặt, theo Cantor hơn là Euclid và Bolzano. Khi có sự phân đôi giữa hai tập hợp, chúng ta nói rằng chúng có cùng một bản số. Khái niệm về bản chất không tôn trọng trực giác một phần toàn bộ. Ví dụ, các bình phương của số tự nhiên là một tập hợp con thích hợp của các số tự nhiên, nhưng chúng có cùng một bản số vì chúng có thể được đặt trong sự tương ứng 1-1.
Lý thuyết hiện đại về số vô hạn của phép đếm bắt nguồn từ Cantor (1932). Ông nhận thấy rằng một cách tự nhiên để thiết lập một phép phân đôi giữa các tập hợp hữu hạn là sắp xếp thứ tự các phần tử của mỗi tập hợp và ghép phần tử đầu tiên của một tập hợp với phần tử đầu tiên của tập hợp kia, phần tử thứ hai của một tập hợp với phần tử thứ hai của tập hợp kia, và như thế. Điều này đôi khi hoạt động với các tập hợp vô hạn — ví dụ, nó tạo ra sự tương ứng 1-1 giữa các số tự nhiên và các hình vuông (được xem xét theo thứ tự tiêu chuẩn của chúng). Khi có sự tương ứng một-một giữa hai tập hợp, sao cho mọi cặp phần tử của một tập hợp có cùng thứ tự với cặp phần tử tương ứng của tập hợp kia, thì hai tập hợp có thứ tự được cho là có cùng một kiểu thứ tự.
Mô hình của Cantor (Nguồn: Internet)
Chúng ta có thể sắp xếp lại thứ tự các số nguyên, xen kẽ giữa dương và âm: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,…. Thứ tự này có cùng kiểu thứ tự với các số tự nhiên và do đó cho phép sự tương ứng 1-1 giữa số tự nhiên và số nguyên. Một trong những quan sát ban đầu nổi bật nhất của Cantor là điều tương tự cũng có thể xảy ra với các số hữu tỉ dương. Mọi số hữu tỉ dương đều có thể được viết duy nhất ở các số hạng thấp nhất dưới dạng một số phân số P/q, ở đâu P và q là các số nguyên dương không có nhân tử chung. Sau đó, chúng ta có thể sắp xếp thứ tự các phân số này bằng cách so sánh tổng P + q của tử số và mẫu số, sau đó nếu tổng của hai phân số bằng nhau, hãy đặt một phân số có tử số thấp hơn P. Thứ tự này bắt đầu từ 1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 1/5, 5, 1/6, 2/5, 3/4, 4 / 3, 5/2, 6,…. (Lưu ý rằng các phân số như 2/2, 2/4, 3/3, 4/2, bị thiếu trong danh sách này, vì chúng không được viết bằng các số hạng thấp nhất.) Mọi số hữu tỉ dương phải xuất hiện trong danh sách này (vì nó có thể được viết ở các số hạng thấp nhất với một số tổng hữu hạn cụ thể của tử số và mẫu số), và chỉ có rất nhiều giá trị tiền nhiệm (vì có nhiều nhất N + 1 phân số có tổng tử số và mẫu số là N).
Mô hình của Cantor (Nguồn: Internet)
Tuy nhiên, Cantor cũng nhận thấy rằng các tổ hợp tốt khác nhau của cùng một tập hợp vô hạn giống nhau sẽ tạo ra một kiểu thứ tự khác nhau. Ví dụ, chúng ta có thể xác định thứ tự trên các số nguyên trong đó mọi số nguyên không âm đứng trước mọi số nguyên âm, với bất kỳ hai số nguyên cùng dấu nào được sắp xếp theo giá trị tuyệt đối của chúng. Để đại diện cho thứ tự này, chúng tôi có thể viết nó là 0,1,2,3,…,-1,-2,-3,…. Theo thứ tự này, mọi tập hợp con không rỗng vẫn có phần tử đầu tiên (phần tử không âm có giá trị tuyệt đối thấp nhất nếu nó chứa bất kỳ phần tử nào không âm và phần tử âm có giá trị tuyệt đối thấp nhất nếu nó chỉ chứa phần tử âm). Nếu chúng ta ghép phần tử đầu tiên của thứ tự này với phần tử đầu tiên của thứ tự chuẩn trên các số tự nhiên và phần tử thứ hai với phần tử thứ hai và phần tử thứ ba với phần tử thứ ba, v.v., thì các số nguyên âm sẽ không được ghép nối với bất kỳ số tự nhiên. Nhưng chúng ta có thể xếp các số tự nhiên vào cùng một loại thứ tự bằng cách khai báo các số lẻ đứng trước các số chẵn và sắp xếp chúng theo kích thước trong hai tập hợp sau: 1,3,5,…,0,2,4,…. Một tập hợp vô hạn đơn lẻ có thể được cung cấp các chuỗi sắp xếp thuộc nhiều kiểu thứ tự khác nhau và cũng có thể cho các chuỗi sắp xếp khác nhau của cùng một kiểu thứ tự (ví dụ: nếu chúng ta đặt các số chẵn trước và các số lẻ thứ hai).
Cantor lưu ý rằng đối với bất kỳ hai tập hợp có thứ tự nào, các vị trí ban đầu trong một thứ tự (đầu tiên, thứ hai, thứ ba, v.v.) tương ứng với các vị trí ban đầu trong tập hợp kia, theo cách mà chúng thực hiện đối với các tập hợp hữu hạn. Trên thực tế, ông đã chỉ ra rằng tất cả các vị trí của một thứ tự tốt phải tương ứng với các vị trí ban đầu trong cái kia. (Nếu điều này không đúng, thì tập hợp các vị trí trong một tập hợp không tương ứng với các vị trí trong tập hợp kia sẽ không trống cho mỗi tập hợp và các phần tử đầu tiên của các tập hợp này sẽ tương ứng, điều này mâu thuẫn với tuyên bố rằng các vị trí này không tương ứng.) Do đó, có một danh sách tất cả các vị trí có thể có trong các tập hợp có thứ tự tốt, bắt đầu bằng các vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba, v.v. và những vị trí này được gọi là số thứ tự. Một tập hợp có thứ tự tốt có thể nói là có số thứ tự riêng của nó, là số thứ tự đầu tiên không tương ứng với một vị trí trong tập hợp đó.
Bài viết được lược dịch từ nhiều nguồn.
Sửa lần cuối:
