Mấy bài toán đại 8 cực khó.

[dlongltt]

Câu 1: Tìm hệ số của x trong đa thức:

\[(1 + x)(1 - 2x)(1 + 3x)(1 - 4x)...(1 - 2008x)\]

Câu 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) thỏa mãn :

\[m^2 + n^2 = 3(m + n)\]

 

[light_future96]

Câu 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) thỏa mãn :

\[m^2 + n^2 = 3(m + n)\]

Từ bđt Cô si dễ dàng suy ra bđt:
\[2(m^{2} + n^{2}) \geq (m+n)^{2}\]
Kết hợp với giả thiết, ta được
\[6(m+n) \geq (m+n)^{2}\]
\[\Leftrightarrow (m+n)(m+n-6) \leq 0\]
Do m,n nguyên dương nên \[m+n \leq 6 \](1)
Lại có:
\[ m^{2}+ n^{2} = 3(m+n)\]
\[\Leftrightarrow (m+n)^{2} -2mn = 3(m+n)\]
\[\Leftrightarrow (m+n)(m+n-3) =2mn\](*)
Do m,n nguyên dương nên m+n >3(2)
Từ (1) và (2) suy ra \[3< m+n \leq 6\]
TH1 : n+m =4
Từ (*) suy ra mn =2
Theo định lí Viet đảo m,n là nghiệm của pt:
\[X^{2}-4X +2=0\]
pt này không có nghiệm nguyên dương nên loại
Các trường hợp còn lại chm tương tự