Luyện tập bất đẳng thức cực trị thông qua các bài tập

[kastryas]

Tôi mở thread này để các bạn GV và HS những người có kinh No cùng nhau hướng dẫn members trên diễn đàn 1 số kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và xử lý bài toán cực trị .. Đó là thể loại mà các học sinh thi Đại Học thường sợ hãi trong những năm gần đây.

Đề nghị những ai tham gia không làm bẩn topic bằng những post ngoài trao đổi Toán hoặc có liên can về Toán nhưng không cùng chủ đề hoặc trao đổi ko sử dụng công thức Toán (latex).

Xin mở đầu bằng mấy bài sau:

Bài Toán 1

Cho \[x;\;y;\;z>0\] thỏa \[x+y+z=xyz\] Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=\frac{xy}{z\left(1+xy \right)}+\frac{yz}{x\left(1+yz\right)}+\frac{zx}{y\left(1+zx \right)}\]

Bài toán 2

Cho \[x;\;y;\;z>0\] thỏa \[x+y+z\le 1\] Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\]

Bài Toán 3

Cho \[x;\;y;\;z>0\] thỏa \[xy+yz+zx=xyz\]

Chứng minh rằng:
\[\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}+\frac{x}{z^{2}}\ge 3(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\]

Bài Toán 4

Cho \[a;\;b;\;c \in [0;\;1]\] Tìm giá trị lớn nhất của

\[P = \frac{a + b}{c + 1} + \frac{b + c}{a + 1} + \frac{c + a}{b + 1}\]

Bài Toán 5

Cho \[a;\;b;\;c >0\] thỏa \[a^2+b^2+c^2=1\]

Chứng minh rằng \[a+b+c-2abc\le \sqrt{2}.\]

Bài toán 6

Cho \[a;\;b;\;c >0\] thỏa \[a+b+c=1\]

Chứng minh rằng:

\[\frac{\sqrt{a^2+abc}}{ab+c}+\frac{\sqrt{b^2+abc}}{bc+a}+\frac{\sqrt{c^2+abc}}{ca+b}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\]

Bài toán 7

Cho \[a;\;b;\;c >0\] thỏa \[a+b+c=1\]

Chứng minh rằng:

\[10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\ge 1\]

ps: Tạm thế đã nhé! bạn nào yếu phần này có nhu cầu cứ mạnh dạn hỏi đừng có spam là được.

 

[nofourgo]

Dấu của tam thức bậc hai

Bạn ơi, bạn có tài liệu gì về sử dụng dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị , có thể cho mình xin một ít được không ?
Mình đang cần lắmps:

 

[saohaivuong]

Search trên google hoặc lên nhà sách đi bạn.
Theo mình lên nhà sách là tốt nhất.
Mua sách nào mỏng mỏng thôi ( thường là hay ). Chuyên về PT chẳng hạn ...

 

[nofourgo]

bạn ơi, nếu có sách thì mình đã mua ngay roi, lên google mà serch được thi chẳng cần phải thế này

 

[chibi maruko]

Bài toán 2

Cho \[x;\;y;\;z>0\] thỏa \[x+y+z\le 1\] Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\]

.

Bài toán 2 này quen quá mà . Hồi lớp 9 cũng làm nhìu , lên lớp 10 cũng thấy rùi
\[P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \ge \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2} \ge \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}} \ge \sqrt{82} \]

 

[chibi maruko]

TEX]

Bài Toán 4

Cho \[a;\;b;\;c \in [0;\;1]\] Tìm giá trị lớn nhất của

\[P = \frac{a + b}{c + 1} + \frac{b + c}{a + 1} + \frac{c + a}{b + 1}\]

.

\[<=>P=\sum \frac{a}{c+1}+\sum \frac{a}{b+1}\]
Mặ khác , lại có :
\[\frac{b}{a+1}+\frac{a}{b+1} \leq 1 \] (1)
Thật vậy :
\[(1) <=> b(b+1)+a(a+1) \leq (a+1)(b+1) <=> a^2+b^2 \leq ab+1 \]
Xét \[a \ge b <=> b(a-b)+1-a^2 \ge 0 \] (đúng )
Xét \[b\ge a <=> a(b-a)+1-b^2 \ge 0 \] (đúng )
tương tự với các BDT còn lại ta có P max=3 khi a=b=c=1

 

[chibi maruko]

Tôi mở thread này để các bạn GV và HS những người có kinh No cùng nhau hướng dẫn members trên diễn đàn 1 số kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và xử lý bài toán cực trị .. Đó là thể loại mà các học sinh thi Đại Học thường sợ hãi trong những năm gần đây.

Đề nghị những ai tham gia không làm bẩn topic bằng những post ngoài trao đổi Toán hoặc có liên can về Toán nhưng không cùng chủ đề hoặc trao đổi ko sử dụng công thức Toán (latex).

Xin mở đầu bằng mấy bài sau:

Bài Toán 3

Cho \[x;\;y;\;z>0\] thỏa \[xy+yz+zx=xyz\]

Chứng minh rằng:
\[\frac{y}{x^{2}}+\frac{z}{y^{2}}+\frac{x}{z^{2}}\ge 3(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\]

Bài này sẽ là quá mạnh khi xài S.0.S nhưng hiện giờ mình hok nghĩ ra cách nào khác nên S.0.S xài tạm
\[xy+yz+zx=xyz <=> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\]
đặt \[\frac{1}{x}=a ;\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c => a+b+c=1\]
\[BDT <=> \sum \frac{a^2}{b} \ge 3(a^2+b^2+c^2) <=> \sum a^2(\frac{1}{b}-3) <=> a^2(\frac{a-b+c-b}{3b}) \]
\[<=> \sum(a-b)^2(\frac{a^2}{3b(a-b)}-\frac{c^2}{3a(a-b)}) \]
\[<=> \sum{a-b)^2(\frac{a^3-c^2b}{3ab(a-b)}) \ge 0\]

 

[shun]

Tiếp chiêu bài 1 nhé:
Ta có
\[P = \frac{1}{z} - \frac{1}{z(1+xy)} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x(1+yz)} + \frac{1}{y} - \frac{1}{y(1+zx)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{z(1+xy)} - \frac{1}{x(1+yz)} - \frac{1}{y(1+zx)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - Q\]
Thế xyz = x+y+z vào Q ta có
\[Q = \frac{1}{x+xyz} + \frac{1}{y+xyz} + \frac{1}{z+xyz} = \frac{1}{(x+y)+(x+z)} + \frac{1}{(y+x)+(y+z)} + \frac{1}{(z+x)+(z+y)} \le \sum \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z}) \le \sum \frac{1}{4}(\frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{z})) = \sum \frac{1}{16}(\frac{2}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \Rightarrow P \ge \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{16}(\frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z}) = \frac{3}{4}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})\]
Mà
\[(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^2 \ge 3(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}) = 3 \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \sqrt{3} \Rightarrow P \ge \frac{3\sqrt{3}}{4}\]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[x = y = z = \sqrt{3}\]