Lượng giác 11

[blackbaby]

Tìm nghiệm của pt: cosx+cos^2x+sin^3x=2 tm: |x-1|<3
Tìm max min của hàm số:
y= cosx+cosx(x-pi/3) với x thuộc [-5pi/6;5pi/6]

 

[pepj_ngok96]

Tìm nghiệm của pt: \[cosx+cos^2x+sin^3x=2\] (1) t/m: |x-1|<3

đk: |x-1|<3
<=> -3 < x-1 < 3
<=> -2 < x < 4

\[pt (1) <=> cosx + 1 -sin^2x+sin^3x-2=0\]
\[<=> cosx-sin^2x(1-sinx)-1=0\]
\[<=> (1-cosx)+(1-cos^2x)(1-sinx)=0\]
\[<=> (1-cosx)[1+(1+cosx)(1-sinx)]=0\]

+) \[1-cosx=0\]
\[<=>cosx=1\]
\[<=> x=k2\Pi \] ( thỏa mãn điều kiện)

+) \[1+(1+cosx)(1-sinx)=0\]
Xét \[f(x)=1+(1+cosx)(1-sinx)\]
= 2 - sinx + cosx - cosxsinx
= 2 - (sinx - cosx) - cosxsinx
Đặt sinx - cosx = t \[( -\sqrt{2}\leq t \leq \sqrt{2})\]
\[=> sinxcosx = \frac{1}{2}(1-t^2)\]
\[=> f(t) = 2-t-\frac{1}{2}(1-t^2)\]
\[=t^2 -2t+3\] luôn > 0 với mọi t
=> f(x) > 0 với mọi x

KL: Vậy pt (1) có 1 nghiệm là \[ x=k2\Pi \]

 

[kt1996]

đk: |x-1|<3
<=> -3 < x-1 < 3
<=> -2 < x < 4

\[pt (1) <=> cosx + 1 -sin^2+sin^3-2=0\]
\[<=> cosx-sin^2x(1+sinx)-1=0\]
\[<=> (1-cosx)+(1-cos^2x)(1+sinx)=0\]
\[<=> (1-cosx)[1+(1+cosx)(1+sinx)]=0\]

+) \[1-cosx=0\]
\[<=>cosx=1\]
\[<=> x=k2\Pi \] ( thỏa mãn điều kiện)

+) \[1+(1+cosx)(1+sinx)=0\]
Xét \[f(x)=1+(1+cosx)(1+sinx)\]
= 2 + sinx + cosx + cosxsinx
Đặt sinx + cosx = t \[( -\sqrt{2}\leq t \leq \sqrt{2})\]
\[=> sinxcosx = \frac{1}{2}(t^2 -1)\]
\[=> f(t) = 2+t+\frac{1}{2}(t^2-1)\]
\[=t^2 +2t+3\] luôn > 0 với mọi t
=> f(x) > 0 với mọi x

KL: Vậy pt (1) có 1 nghiệm là \[ x=k2\Pi \]

Mình nghĩ cậu nhầm chỗ đó rồi, phả là 1 - sinx mới đúng chứ nhỉ? :smug:

 

[pepj_ngok96]

Tìm max min của hàm số:
\[y=cosx+cos(x+\frac{\Pi }{3}) \] với x thuộc \[[\frac{-5\Pi }{6};\frac{5\Pi }{6}]\]

đk: \[x\in [\frac{-5\Pi }{6};\frac{5\Pi }{6}]\]
\[y=cosx+cos(x+\frac{\Pi }{3}) \]
\[<=> y = cosx+cosx\frac{1}{2}-sinx\frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[<=>2y= 2cosx + cosx -\sqrt{3}sinx\]
\[<=>2y= 3cosx -\sqrt{3}sinx\]

Xét phương trình ẩn x: \[2y= 3cosx -\sqrt{3}sinx\]
pt có nghiệm <=> \[3^2 + (-\sqrt{3})^2 \geq 4y^2\]
\[<=> 12 \geq 4y^2\]
\[<=> -\sqrt{3}\leq y\leq \sqrt{3}\]

+) Min y = \[-\sqrt{3}\] khi \[-2\sqrt{3}=3cosx -\sqrt{3}sinx\]
\[<=> \frac{\sqrt{3}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx=-1\]
\[<=> sin\frac{\Pi }{3}cosx - cos\frac{\Pi }{3}sinx=-1\]
\[<=> sin(\frac{\Pi }{3}-x)=-1\]
\[<=> x= \frac{5\Pi }{6} + k2\Pi (k\in Z)\] ( x thỏa mãn đk)

+) Max y = \[\sqrt{3}\] khi \[2\sqrt{3}=3cosx -\sqrt{3}sinx\]
\[<=> sin(\frac{\Pi }{3}-x)=1\]
\[<=> x= \frac{-\Pi }{6} + k2\Pi (k\in Z)\] ( x thỏa mãn đk)