Lượng giác 11 nâng cao

[vananh_94]

LƯỢNG GIÁC LỚP 11 NÂNG CAO
​

\[{sin}^{3}x.cos3x+{cos}^{3}x.sinx={sin}^{4}3x\]
\[{cos}^{12}x+{sin}^{6}x{(1+{cos}^{2}x)}^{3}=1\]
\[2{sin}^{8}x+{cos}^{4}2x=\frac{1}{27}\]

giúp em nha !!!

 

[coleminhdasai]

áp dụng cô si

2sin

 

[coleminhdasai]

dùng cô si cho sin^8 x với 3 số 1\3^4
với số cos^4 2x với 3số 1\3^4
rùi cộng lại
dấu bằng xảy ra khi rùi giải dk đó ra

 

[thichtoan]

Giải pt lượng giác :
\[a) 2\sin^8{x} + \cos^4{2x} =\frac{1}{27}\] (*)
Áp dụng BDT Côsi :
Cho 4 số là \[\sin^8{x}\] và 3 số \[\frac{1}{3^{4}}\]
Cho 4 số là \[\cos^4{2x}\] và 3 số \[\frac{1}{3^{4}}\]
ta được:
\[\sin^8{x} +\frac{1}{27} \geq \frac{4\sin^2{x}}{27} \] \[(1)\]
\[\cos^4{2x} +\frac{1}{27} \geq \frac{4\cos{2x}}{27} \] \[(2)\]
nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được:
\[2\sin^8{x} + \cos^4{2x} +\frac{3}{27} \geq \frac{4({2\sin^2{x} + \cos{2x}})}{27} =\frac{4}{27}\]
\[\rightarrow 2\sin^8{x} + \cos^4{2x}\geq \frac{1}{27}\]
Dấu bằng xảy ra tức là có pt (*) khi và chỉ khi :
\[\left {\sin^8{x}=\frac{1}{3^{4}} \\ {\cos^4{2x}=\frac{1}{3^{4}}\]
\[\rightarrow \cos{2x}=\frac{1}{3}=\cos{\alpha}\]
\[\left[\begin{matrix} x=\frac{\alpha}{2} + k\pi \\ x=-\frac{\alpha}{2} + k\pi \\ (k\in{Z}) \\ \end{matrix}\]
\[b) \cos^{12}{x} + \sin^6{x}(1 +\cos^2{x})^3 = 1\]
\[\leftrightarrow (\cos^4{x})^3 + (1 -\cos^2{x})^3(1 +\cos^2{x})^3 = (\cos^4{x})^3 + (1 -\cos^4{x})^3 =1 \]
Đăt \[ t =\cos^4{x} (0\leq t \leq 1)\]
ta có :
\[ t^3 +(1 - t)^3 = 1\]
\[\leftrightarrow 3t - 3t^2 = 0\]
\[\leftrightarrow 3t(1 - t) = 0 \]
\[\left[\begin{matrix} t = 0 \\ t = 1 \\ \end{matrix}\]
\[\left[\begin{matrix} \cos{x}= 0 \\ \cos{x}= 1 \\ \cos{x}= -1 \\ \end{matrix}\]
\[\left[\begin{matrix} x =\frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ x =\pi + k2\pi \\ (k\in Z) \\ \end{matrix}\]
hôm sau làm nốt...

 

[thaongan010994]

bài 1 phải chi đừng có 3 x thì dễ rồi!