KHOẢNG CÁCH-GÓC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Khoảng cách từ điểm \[M(x_0; y_0)\] đến đường thẳng \[\Delta: ax+by+c=0\] được tính theo công thức
\[d(M;\Delta )=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
2. Cho hai điểm \[M(x_{M}; y_{M}), N(x_{N}; y_{N})\] và đường thẳng \[\Delta: ax+by+c=0\]. Khi đó
* \[M, N\] nằm cùng phía đối với \[\Delta\Leftrightarrow (ax_{M}+by_{M}+c)(ax_{N}+by_{N}+c)>0\];
* \[M, N\] nằm khác phía đối với \[\Delta\Leftrightarrow (ax_M+by_M+c)(ax_N+by_N+c)<0\]
3. Cho hia đường thẳng \[\Delta_1 : a_1x+b_1y+c_1=0\] và \[\Delta_2 : a_2x+b_2y+c_2=0\]. Khi đó
* Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi \[\Delta_1 và \Delta_2\] là
\[\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm\frac{a_2x+b_2y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\]
* Góc giữa \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] được xác định bởi công thức
\[\cos(\Delta_1, \Delta_2)=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\]
* \[\Delta_1\bot\Delta_2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0\].
II. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác \[ABC\] với \[A(-1; 0), B(2; 3), C(3; -6)\] và đường thẳng \[\Delta : x-2y-3=0\].
a) Xét xem đường thẳng \[\Delta\] cắt cạnh nào của tam giác;
b) Tìm điểm \[M\] trên \[\Delta\] sao cho \[|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|\] nhỏ nhất.
Bài 2: Cho ba điểm \[A(2; 0), B(4; 1), C(1; 2)\]
a) Chứng minh rằng \[A, B, C\] là ba đỉnh của một tam giác;
b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc \[A\];
c) Tìm toạ độ tâm \[I\] của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
Bài 3: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh tam giác đó là:
\[x+2y=0; 2x+y=0; x+y=1\]
Bài 4: Cho điểm \[A(-1; 2)\] và đường thẳng \[\Delta :\left{ x=-1+2t\\y=-2t\]
Tính khoảng cách từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[\Delta\]. Từ đó suy ra diện tích của hình tròn tâm \[A\] tiếp xúc với \[\Delta\].
Bài 5: Với điều kiện nào thì các điểm \[M(x_1; y_1)\] và \[N(x_2; y_2)\] đối xứng với nhau qua đường thẳng \[\Delta :ax+by+c=0.\]
Bài 6: Biết các cạnh của tam giác \[ABC\] có phương trình:
\[AB: x-y+4=0; BC: 3x+5y+4=0; CA: 7x+y-12=0\]
a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc \[A\];
b) Không dùng hình vẽ, hãy cho biết điểm \[O\] nằm trong hay ngoài tam giác \[ABC\].
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng
a) Qua \[A(-2; 0)\] và tạo với đường thẳng \[d: x+3y-3=0\] một góc \[45^0\];
b) Qua \[B(-1; 2)\] và tạo với đường thẳng \[d: \letf{ x=2+3t\\ y=-2t\] một góc \[60^0\].
Bài 8: Xác định các giá trị của \[a\] để góc tạo bởi hai đường thẳng \[\left{ x=2+at \\ y=1-2t\] và \[3x+4y+12=0\] bằng \[45^0\].
a) Cho hai điểm \[A(1; 1), B(3; 6)\]. Viết phương trình đường thẳng đi qua \[A\] và cách \[B\] một khoảng bằng \[2\].
b) Cho đường thẳng \[d: 8x-6y-5=0\]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta\] song song với \[d\] và cách \[d\] một khoảng bằng \[5\].
Bài 9: Cho ba điểm \[A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4)\]. Viết phương trình đường thẳng đi qua \[A\] và cách đều hai điểm \[B, C\]
Bài 10:
a) Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\], biết phương trình các đường thẳng \[AB, BC\] lần lượt là \[x+2y-1=0\] và \[3x-y+5=0\]. Viết phương trình đường thẳng \[AC\] biết rằng đường thẳng \[AC\] đi qua điểm \[M(1; -3)\];
b) Cho hai đường thẳng \[\Delta_1 :2x-y+5=0\], \[\Delta_2 : 3x+6y-1=0\] và điểm \[M(2; -1)\]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta\] đi qua \[M\] và tạo với hai đường thẳng \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\].
Bài 11: Cho hai đường thẳng song song \[\Delta_1: ax+by+c=0\] và \[\Delta_2 : ax+by+d=0\]. Chứng minh rằng
a) Khoảng cách giữa \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] là \[\frac{|c-d|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]
b) Phương trình đường thẳng song song và cách đều \[\Delta_1\] và \[\Delta_2\] là
\[ax+by+\frac{c+d}{2}=0\]
Bài 12: Cho hình vuông có đỉnh \[A(-4; 5)\] và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình \[7x-y+8=0\]. Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.
Bài 13: Cho tam giác \[ABC\] có đỉnh \[A(\frac{4}{5}\]; \[\frac{5}{7})\]. Hai đường phân giác trong của góc \[B\] và \[C\] lần lượt có phương trình \[x-2y-1=0\] và \[x+3y-1=0\]. Viết phương trình cạnh \[BC\] của tam giác.
Bài 14: Cho hai điểm \[P(1; 6), Q(-3; -4)\] và đường \[\Delta: 2x-y-1=0\].
a) Tìm toạ độ điểm \[M\in\Delta\] sao cho \[MP+MQ\] nhỏ nhất;
b) Tìm toạ độ điểm \[N\in\Delta\] sao cho \[NP-NQ\] lớn nhất.
Bài 15: Cho đường thẳng \[\Delta_{m}:\quad (m-2)x+(m-1)y+2m-1=0\] và hai điểm \[A(2; 3), B(1; 0)\]
a) Chứng minh rằng \[\Delta_m\] luôn đi qua một điểm cố định với mọi \[m\];
b) Xác định \[m\] để \[\Delta_m\] có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng \[AB\];
c) Tìm m để khoảng cách từ \[A\] đến đường thẳng \[\Delta_m\] là lớn nhất.
