Hỏi bài tập về cấp số cộng?

[muahoatuyet]

cho phương trình: x[SUP]4[/SUP] -20x[SUP]2[/SUP] +36=0
CMR phương trình có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

 

[NguoiDien]

cho phương trình: x[SUP]4[/SUP] -20x[SUP]2[/SUP] +36=0
CMR phương trình có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

Đặt \[t=x^2\] thì phương trình trở thành \[t^2-20t+36=0\qquad (1)\]

Phương trình \[(1)\] có hai nghiệm \[t_1 < t_2\] dương thì phương trình ban đầu có \[4\] nghiệm \[-\sqrt{t_2}\]; \[-\sqrt{t_1}\]; \[\sqrt{t_1}\]; \[\sqrt{t_2}\]

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \[\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}=\sqrt{t_1}-(-\sqrt{t_1})\] hay \[\sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}\]

Suy ra \[t_2=9t_1\].

Thật vậy ta có:

Phương trình \[(1)\] có \[\Delta '=100-36=64\] nên có hai nghiệm phân biệt \[t_1<t_2\]. Theo công thức nghiệm ta suy ra t_1=2 và \[t_2=18\]. Suy ra \[t_2=9t_1\]. Vậy bài toán được chứng minh.

P/s: Mình hơi nghi ngờ đề này. Có lẽ có sự nhầm lẫn ở đây vì nếu phương trình có các hệ số cụ thể thì chỉ cần giải ra là được. Mà nếu giải ra để chứng minh thì chỉ cần yêu cầu đề là giải phương trình mà thôi. Thường những bài đòi hỏi chứng minh thì trong phương trình đã cho đều có tham số. Hoặc là sẽ tìm điều kiện tham số để phương trình có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.