Hình học không gian cực khó

[LECHUNGTC3]

1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) bất kỳ cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại K, L, M, N. Chứng minh rằng :\[\frac{SA}{SK}+\frac{SC}{SM}=\frac{SB}{SL}+\frac{SD}{SN}.\]
2.Tứ diện SABC trong tam G.mp anpha bất kì qua G cắt SA,SB,SC tai M,N,P.chứng minh \[\frac{SA}{SM}+\frac{SB}{SN}+\frac{SC}{SP}=4\].

 

[uocmo_kchodoi]

Câu 1. Chia khối chóp S.ABCD thành 4 khối chóp nhỏ = cách nối KM,LN,AC,BD.
Ta xó.
\[\frac{V_{SKLM}}{V_{SABC}}=\frac{SK}{SA}.\frac{SL}{SB}.\frac{SM}{SC}\]

\[\frac{V_{SKMN}}{V_{SACD}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}.\frac{SK}{SA}\]

\[\frac{V_{SLMN}}{V_{SBCD}}=\frac{SL}{SB}.\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}\]

\[\frac{V_{SLKN}}{V_{SBAD}}=\frac{SL}{SB}.\frac{SK}{SA}.\frac{SN}{SD}\]

Mà \[V_{SABC}=V_{SBCD}=V_{SACD}=V_{SBDA}\] nên.

\[\frac{V_{SKLM}+V_{SKMN}}{V_{SABC}}=\frac{V_{SLMN}+V_{SLKN}}{V_{SABC}}\left(=\frac{V_{SKLMN}}{V_{SABC}} \right)\]

\[\Leftrightarrow \frac{SK.SL.SM}{SA.SB.SC}+\frac{SM.SN.SK}{SA.SC.SD}=\frac{SL.SM.SN}{SB.SC.SD}+\frac{SL.SK.SM}{SA.SB.SD}\]

Nhân mỗi vế với \[\frac{SA.SB.SC.SD}{SK.SL.SM.SN}\]
ta được \[\frac{SA}{SK}+\frac{SC}{SM}=\frac{SB}{SL}+\frac{SD}{SN}\left(dpcm \right)\]

Hoặc có thể gọi giao của KM và LN là Q,giao của AC và BD là O. Sử dụng bổ đề .
Cho tam giác ABC có K là trung điểm của BC. đường thẳng (d) bất kì cắt AB,AC lần lượt tại N và M. AK giao với NM tại Q. Khi đó ta có \[\frac{AN}{AB}+\frac{AM}{AC}=\frac{2AQ}{AK}\]