Hình học 9: Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

[Thandieu2]

HÌNH HỌC 9. CHƯƠNG 2: BÀI 7: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

​

1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn


?1 Ta gọi hai đường tròn không trùng nhau là hai đường tròn phân biệt. Vì sao hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung?

- Hai đường tròn có hai điểm chung (h.85) được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây chung.

- Hai đường tròn chỉ có một điểm chung (h.86) được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm.

- Hai đường tròn không có điểm chung (h.87) được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

2. Tính chất đường nối tâm


Cho hai đường tròn (O) và (O’) có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO’ là đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm.

Do đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nên đường nối tâm là trục đối xứng. của hình gồm cả hai đường tròn đó.

?2 a) Quan sát hình 85, chứng minh rằng OO’ là đường trung trực của AB.

b) Quan sát hình 86, hãy dự đoán về vị trí của điểm A đối với đường nối tâm OO’.
Ta chứng minh được định lý sau đây.

Định lý

?3 Cho hình 88.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Chứng minh rằng

và ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Bài tập


33. Trên hình 89, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng

.

34. Cho hai đường tròn (O; 20 cm) và (O’; 15 cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’, biết rằng AB = 24 cm. (Xét hai trường hợp: O và O’ nằm khác phía đối với AB); O và O’ nằm cùng phía đối với AB.

NGUỒN SƯU TẦM

 

[Thandieu2]

Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)

HÌNH HỌC 9. CHƯƠNG 2. BÀI 7: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (TIẾP)​

​

​

​

1. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính


Trong mục này ta xét hai đường tròn (O; R) và (O’; r) trong đó R > r hoặc R = r.


a. Hai đường tròn cắt nhau
Trên hình 90, hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.
Ta có khẳng định sau:
Nếu hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau thì R - r < OO’ < R + r.

​

​

​

?1. Hãy chứng minh khẳng định trên.

b) Hai đường tròn tiếp xúc


Trên hình 91, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, khi đó tiếp điểm A nằm giữa O và O’.
Trên hình 92, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A, khi đó điểm O’ nằm giữa O và A.

​

​

​

Ta có các khẳng định sau:
Nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài thì OO’ = R + r.
Nếu hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong thì OO’ = R – r.

?2. Hãy chứng minh các khẳng định trên.

c) Hai đường tròn không giao nhau


Trên các hình 93 và 94, hai đường tròn (O) và (O’) không giao nhau. Trên hình 93, hai đường tròn ở ngoài nhau. Trên hình 94, đường tròn (O) đựng đường tròn (O’), trong trường hợp đặc biệt khi hai tâm trùng nhau (h.95b) ta có hai đường tròn đồng tâm.

​

​

​

​

​

​

Ta chứng minh được các khẳng định sau:
- Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + r.
- Nếu đường tròn (O) đừng đường tròn (O’) thì OO’ < R – r.
+ Ta cũng chứng minh được điều đảo lại của các khẳng định ở các mục a, b, c nói trên.
Ta có bảng sau:

​

​

​

2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn


Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Trên hình 95, các đường thẳng d1 và d2 là các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) (tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm).
Trên hình 96, các đường thẳng m1 và m2 là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O’) (tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm).

​

​

​

​

​

​

?3. Quan sát các hình 97a, b, c, d trên hình nào có vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn? Đọc tên các tiếp tuyến chung đó.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Trong thực tế, ta thường gặp những đồ vật có hình dạng và kết cấu liên quan đến những vị trí tương đối của hai đường tròn như: bánh xe và dây cua-roa (hình 98a), hai bánh răng khớp nhau (h.98b), líp nhiều tầng của xe đạp (h.98c).

​

​

​

Bài tập


35. Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có OO’ = d, R > r.

​

​

​

36. Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
a. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
b. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD.
37. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC = BD.


Luyện tập


38. Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (…)
a. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 3 cm) nằm trong…
b. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm tiếp xúc với đường tròn (O; 3cm) nằm trên…

39. Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B thuộc (O), C thuộc (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
a. Chứng minh rằng: góc BAC vuông.
b. Tính số đo góc OIO’.
c. Tính độ dài BC, biết OA = 9 cm, O’A = 4 cm.

40. Đố. Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào, hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?

​

​

​

Có thể em chưa biết

Vẽ chắp nối trơn

​

​

​

Trên hình 100, ta có đoạn thẳng AB và cung BC của đường tròn tâm O, đoạn thẳng AB tiếp xúc với cung BC (vì AB vuông góc với BO). Tại B, đường đi ABC “trơn” chứ không “gãy” (còn hình 101: đoạn thẳng MN không tiếp xúc với cung NP, đường đi MNP bị “gãy” tại N. Ta nói đoạn thẳng AB không vẽ chắp nối trơn với cung BC.

​

​

​

​

​

​

Trên hình 102, cung AB của đường tròn tâm O tiếp xúc với cung BC của đường tròn O’ (vì các tiếp tuyến tại B của các đường tròn đó trùng nhau, khi đó ba điểm O, O’; B thẳng hàng). Tại B, đường đi của ABC cũng “trơn” chứ không gãy (còn hình 103: cung MN không tiếp xúc với cung NP, đường đi MNP bị “gãy” tại N . Ta nói cung AB được vẽ chắp nối trơn với cung BC).

​

​

​

​

​

​

Trong kĩ thuật, nhiều khi ta phải vẽ chắp nối trơn một cung với một đoạn thẳng hoặc vẽ chắp nối trơn hai cung với nhau. Các thanh đường ray xe lửa được chắp nối trơn với nhau khi xe lửa đổi hướng từ đường thẳng sang đường cong (h. 100)

​

​

​

Em hãy vẽ chắp nối trơn để được các hình sau:
a. Hình “quả trứng”
Hình “quả trứng” (h.104) được tạo bởi bốn cung vẽ chắp nối trơn: nửa đường tròn ACB có đường kính AB, cung BE có tâm A, cung EF có tâm d, cung FA có tâm B (tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó).

​

​

​

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_ch2_h104.ggb
Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.


b. Hình “trái xoan”
Hình “trái xoan” (h. 105) được tạo bởi bốn cung vẽ vẽ chắp nối trơn: cung BC có tâm A, cung CE có tâm K, cung EF có tâm D, cung FB có tâm I (các tam giác ABC, DEF là các tam giác đều); D, I, K là trung điểm các cạnh của tam giác ABC).

​

​

​

NGUỒN SƯU TẦM