HÌNH HỌC 9. CHƯƠNG 2. BÀI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng a, khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
?1 Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung?
Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và đường tròn mà ta có các vị trí tương đối của chúng.
a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung A và B (h.71), ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau. Đường thẳng a còn gọi là cát tuyến của đường tròn O.
?2 Hãy chứng minh khẳng định trên
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C, ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau. Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm C gọi là tiếp điểm.
Khi đó H trùng với C, OC ⊥ a và OH = R (h.72a).
Thật vậy, giả sử H không trùng với C, lấy điểm D thuộc đường thẳng a sao cho H là trung điểm của CD (h. 72b). Khi đó C không trùng với D. Vì OH là đường trung trực của CD nên OC = OD. Ta lại có OC = R nên OD = R.
Như vậy, ngoài điểm C ta còn có điểm D cũng là điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O), điều này mâu thuẫn với giả thiết là đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung.
Vậy H phải trùng với C. Điều đó chứng tỏ rằng OC ⊥
a và OH = R. Kết quả trên phải được phát biểu thành đị lý sau đây:
Định lí
c. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung (h.73), ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.
Ta chứng minh được rằng OH > R.
2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng đến đường thẳng và bán kính của đường tròn.
Đặt OH = d, ta có các kết luận sau:
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau thì d < R.
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau thì d = R.
Nếu đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau thì d > R.
Đảo lại, ta cũng chứng minh được:
Nếu d < R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau
Nếu d = R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau
Nếu d > R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau
Ta có bảng tóm tắt sau:
?3 Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 3 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5 cm.
a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O)? Vì sao?
b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC.
Bài tập
17. Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):
18. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (A; 3) và các trục tọa độ.
19. Cho đường thẳng xy. Tâm của các đường tròn có bán kính 1 cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm trên đường nào?
20. Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm và một điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.
NGUỒN SƯU TẦM
