Gọi H là trực tâm tg ABC (giao điểm của BD và CE); I là trung điểm của BC; AK là đường kính; S là diện tích tứ giác OEAD
a) chứng minh ED vuông góc với AO:
tứ giác BCDE nội tiếp vì góc BEC=BDC=90 độ cùng chắn BC --> góc ABC bù với góc CDE -> góc ABC= góc ADE (vì cùng bù với góc CDE)
lại có góc CBK= góc CAK (cùng chắn cung CK),
góc ABC+CBK =góc ABK=90 độ (vì chắn đường kính AK)
--> góc ADE+CAK =90 độ ---> ED vuông góc với AK (tức vuông góc với AO)
b)chứng minh nếu tg ABC có góc A=60 độ thì BC=R√3 (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC:
tg BCO cân tại O, có góc BOC=120 độ (vì =2gócA) -> góc OBC=OCB=30 độ
--> BI=R(√3)/2 --> BC=R√3 và OI=OB/2 =R/2
c) chứng minh AH= 2.OI
Góc ACK= 90 độ (vì chắn đường kính AK) --> KC//BH (vì cùng vuông góc với AC)
góc ABK= 90 độ (vì chắn đường kính AK) --> BK//CH (vì cùng vuông góc với CH)
suy ra BHCK là hình bình hành , mà I là trung điểm của đường chéo BC, vậy cũng là trung điểm của đường chéo HK --> OI là đường trung bình trong tam giác AKH --> AH= 2.OI =2.R./2 =R (OI=R/2 đã cm ở phần b), vậy AH= R
d) tính diện tích tứ giác OEAD:
Xét tứ giác OEAD có 2 đường chéo vuông góc với nhau (đã cm ở phần a), vậy S =ED.AO/2= ED.R/2
mà tam giác AED nội tiếp đường tròn đường kính AH ( tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn đường kính AH vì có góc AEH=góc ADH=90 độ cùng chắn AH), suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là r= AH/2 = R/2 (đã cm AH=R ở phần c). Tam giác AED có góc A=60 độ, vậy ED=r√3 (như đã cm ở phần b) --> ED=r√3= (R√3)/2 , do r=R/2.
Vậy S=ED.AO/2 = (R√3)/2 .R/2 = R^2.(√3)/4
