Hình thang cân -Nguồn: vnschool.net
Bài 3. Hình thang cân
1.Định nghĩa
Hình thang ABCD (AB // CD) trên hình 23 có gì đặc biệt ?
a) Tìm các hình thang cân.
b) Tính các góc còn lại của mỗi hình thang cân đó.
c) Có nhận xét gì về hai góc đối của hình thang cân ?
2. Tính chất
Định lí 1
Giả thiết : ABCD là hình thang cân (AB // CD).
Kết luận : AD = BC.
Chứng minh. Xét hai trường hợp :
a) AD cắt BC ở O (giả sử AB < CD, h. 25) :
OA = OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : OD - OA = OC - OB.
Vậy AD = BC.
b) AD // BC (h. 26).
Khi đó AD = BC (theo nhận xét ở bài 2: hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau).
Chú ý. Có những hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình thang cân.
Chẳng hạn như trên hình 27, hình thang ABCD (AB // CD) có hai cạnh bên bằng nhau (AD = BC) nhưng không là hình thang cân
Định lí 2
Giả thiết : ABCD là hình thang cân (AB // CD).
Kết luận : AC = BD.
Chứng minh. (h. 28)
3. Dấu hiệu nhận biết
Cho đoạn thẳng CD và đường thẳng m song song với CD (h. 29). Hãy vẽ các điểm A, B thuộc m sao cho ABCD là hình thang có hai đường chéo CA, DB bằng nhau. Sau đó hãy đo các góc
của hình thang ABCD đó để dự đoán về dạng của các hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
Định lí 3
Định lí 3 được chứng minh ở bài tập 18.
Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
BÀI TẬP
11. Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên giấy kẻ ô vuông (h. 30, độ dài của cạnh ô vuông là 1 cm).
12. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF.
13. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED.
14. Đố. Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h. 31), tứ giác nào là hình thang cân ? Vì sao ?
15. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.
a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.
b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết rằng
LUYỆN TẬP
16. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈
AC, E ∈
AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
17. Hình thang ABCD (AB // CD) có
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
18. Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau : Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:
a) BDE là tam giác cân.
b) ACD = BDC.
c) Hình thang ABCD là hình thang cân.
19. Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h. 32). Hãy tìm điểm thứ tư M là giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân.