Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng - Nguồn: vnschool.net
1. Định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực
a) Thực hành
- Cắt một mảnh giấy, trong đó có một mép cắt là đoạn thẳng AB (h. 41a).
- Cắt mảnh giấy sao cho mút A trùng với mút B (h. 41b). Nếp gấp 1 chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- Từ một điểm M tùy ý trên nếp gấp 1, gấp đoạn thẳng MA (hay MB) được nếp gấp 2 (h.41c).
Độ dài của nếp gấp 2 là các khoảng cách từ điểm M đến hai điểm A và B. Từ đó ta thấy MA = MB.
Ta có định lí sau :
b) Định lí 1 (định lí thuận)
Cụ thể, nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB (học sinh tự chứng minh).
2. Định lí đảo
Xét điểm M cách đều hai mút của đoạn thẳng AB. Hỏi điểm M có nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không ?
Ta có định lí :
Định lí 2 (định lí đảo)
Cụ thể, nếu MA = MB thì M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
?1
Hãy viết giả thiết, kết luận của định lí.
Chứng minh :
Xét hai trường hợp :
MI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét :
Từ định lí thuận và định lí đảo, ta có :
Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
3. Ứng dụng
Ta có thể vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng thước thẳng và compa như sau (h. 43):
- Lấy M làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn MN, sau đó lấy N làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó sao cho hai cung tròn này có hai điểm chung, gọi là P và Q.
- Dùng thước vẽ đường thẳng PQ, đó là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Chú ý :
- Khi vẽ hai cung tròn trên, ta phái lấy bán kính lớn hơn MN thì hai cung tròn đó mới có hai điểm chung.
- Giao điểm của đường thẳng PQ với đường thẳng MN là trung điểm của đoạn thẳng MN nên cách vẽ trên cũng là cách dựng trung điểm của đoạn thẳng bằng thước và compa.
Bài tập
44. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu ?
45. Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
46. Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Luyện tập
47. Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Chứng minh AMN = BMN.
48. Hai điểm M và N cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM + IN với LN.
49. Hai nhà máy được xây dựng bên bờ một con sông tại hai địa điểm A và B (h. 44). Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất.
50. Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (h. 45). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư.
51. Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau :
(1) Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó cắt d tại hai điểm A và B.
(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C (C P).
(3) Vẽ đường thẳng PC.
Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d.
Đố: Tìm thêm cách dựng nữa (bằng thước và compa).
