Tính chất tia phân giác của một góc - Nguồn: vnschool.net
Bài 5. Tính chất tia phân giác của một góc
1. Định lí về tính chất các điểm thuộc tia phân giác
a) Thực hành
Cắt một góc xOy bằng giấy, gấp góc đó sao cho cạnh Ox trùng với cạnh Oy để xác định tia phân giác Oz của nó (h. 27).
Từ một điểm M tùy ý trên tia Oz, ta gấp MH vuông góc với hai cạnh trùng nhau Ox, Oy (h. 28). Độ dài của nếp gấp MH chính là khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy.
?1 Dựa vào cách gấp hình, hãy so sánh các khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh Ox, Oy.
Ta có định lí sau :
b) Định lí 1 (định lí thuận)
?2 Dựa vào hình 29, hãy viết giả thiết và kết luận của định lí 1.
Chứng minh :
Hai tam giác vuông MOA và MOB có :
- Cạnh huyền OM chung.
-
-Do đó MOA = MOB (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra MA = MB.
2. Định lí đảo
Xét bài toán sau :
Cho một điểm M nằm bên trong góc xOy sao cho khoảng cách từ M đến hai cạnh Ox, Oy bằng nhau (h. 30). Hỏi điểm M có nằm trên tia phân giác (hay OM có là tia phân giác ) của góc xOy hay không ?
Ta có định lí sau :
Định lí 2 (định lí đảo)
?3 Dựa vào hình 30, hãy viết giả thiết và kết luận của định lí 2.
Hướng dẫn chứng minh : (h. 30).
- Kẻ tia OM.
- Chứng minh hai tam giác vuông MOA và MOB bằng nhau.
- Nhận xét : Từ định lí 1 và định lí 2, ta có : Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
Bài tập
31. Hình 31 cho biết cách vẽ tia phân giác của góc xOy bằng thước hai lề :
- Áp một lề của thước vào cạnh Ox, kẻ đường thẳng a theo lề kia.
- Làm tương tự với cạnh Oy, ta kẻ được đường thẳng b.
- Gọi M là giao điểm của a và b, ta có OM là tia phân giác của góc xOy.
Hãy chứng minh tia OM được vẽ như vậy đúng là tia phân giác của góc xOy.
(Gợi ý : Dựa vào bài tập 12 chứng minh các khoảng cách từ M đến Ox và đến Oy bằng nhau (do cùng bằng khoảng cách hai lề của chiếc thước) rồi áp dụng định lí 2).
32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B1 và C1 (h. 32) nằm trên tia phân giác của góc A.
Luyện tập
33. Cho hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O (h. 33).
a) Chứng minh hai tia phân giác Ot, Ot’ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.
b) Chứng minh rằng : Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.
c) Chứng minh rằng : Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’.
d) Khi M O thì các khoảng cách từ M đến xx’ và yy’ bằng bao nhiêu ?
e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’ ?
34. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng :
a) BC = AD
b) IA = IC, IB = ID.
c) Tia OI là tia phân giác của góc xOy.
35. Có mảnh sắt phẳng hình dạng một góc (h. 34) và một chiếc thước thẳng có chia khoảng. Làm thế nào để vẽ được tia phân giác của góc này ?
