Toán 12 - Chương II - Bài 4. Mặt nón, hình nón và khối nón
1. Định nghĩa mặt nón
Cho đường thẳng
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh
l gọi là đường sinh của mặt nón.
O gọi là đỉnh của mặt nón.
Nếu gọi
Chúng ta dễ dàng thấy:
Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón N khác với điểm O thì đường thẳng OM nằm hoàn toàn trên mặt nòn đó. Có thể xem mặt nón N sinh bởi đường thẳng OM khi quay quanh
Em hãy làm thử !
Các em hãy lấy một miếng bìa, cắt thành hình quạt tròn giới hạn bởi một cung tròn AB và hai bán kính OA, OB (h.50). Ta uốn cong hình quạt tròn đó để có thể dán hai bán kính OA và OB với nhau.
Sau khi dán, cung tròn AB trở thành một đường khép kín. Nếu ta làm cho một đường khép kín này trở thành một đường tròn thì ta được một phần của mặt nón tròn xoay.
?1 a) Giao của một mặt nón và một mặt phẳng đi qua trục của nó là hình gì ?
b) Giao của một mặt nón và một mặt phẳng vuông góc với trục của nó là hình gì ?
2. Hình nón và khối nón
Cho mặt nón N với trục
Phần mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hình tròn xác định bởi (C ) được gọi là hình nón.
Điểm O gọi là đỉnh của hình nón, đường tròn (C ) gọi là đường tròn đáy, hình tròn xác định bởi (C ) gọi là đáy của hình nón. Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn (C ) , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón ; rõ ràng là các đường sinh của hình nón có độ dài bằng nhau. Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh O tới mặt đáy).
?2 Giao của một hình nón và một mặt phẳng đi qua trục của nó là hình gì ?
Hiển nhiên là một hình nón chia không gian thành hai phần : phần bên trong và phần bên ngoài của nó.
Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối chóp.
3. Khái niệm về diện tích hình nón và thể tích khối nón
Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh hình nón.
Ta có định nghĩa :
Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Thể tích của khối nón (còn gọi là thể tích của hình nón) là giới hạn của thể tích của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Giả sử H là một hình chóp đều nội tiếp hình nón N (h.52). Gọi p là chu vi đáy của hình chóp đều H, và q là khoảng cách từ O tới một cạnh đáy của H thì diện tích xung quanh của H là S[SUB]xq[/SUB] =1/2. p.q. Khi cho số cạnh đáy của H tăng lên vô hạn thì p có giới hạn độ dài đáy của hình nónN, còn q có giới hạn là độ dài đường sinh của hình nón. Vậy :
Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Cũng chú ý rằng thể tích V của khối chóp H bằng 1/3 tích số của diện tích đa giác đáy và chiều cao của H (cũng là chiều cao của khối nón). Khi số cạnh đáy của H tăng lên vô hạn thì diện tích đa giác đáy của H có giới hạn là diện tích hình tròn đáy của khối nón N. Bởi vậy :
Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích hình tròn đáy và chiều cao.
Ví dụ. Cắt một hình nón N bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần (tức là tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy) và thể tích của khối nón N.
Giải
Giả sử thiết diện là tam giác đều OAB canh 2a, khi đó hình nón đã cho có bán kính đáy là a và độ dài đường sinh là 2a (h.53).
Vậy diện tích xung quanh của nó là
Diện tích toàn phần là
Thể tích là
Bài đọc thêm
GIAO TUYẾN PARABOL CỦA MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ MẶT PHẲNG
Ở lớp 10, chúng ta đã biết đường coonic và elip, hypebol, parabol. Người ta chứng minh được rằng:Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh của mặt nón thì giao tuyến sẽ là :
a) Một đường elip nếu mp(P) cắt mọi đường sinh (đặc biệt, nếu (P) vuông góc với trục của mặt nón thì giao là đường tròn )(h.54a).
b) Một đường parabol nếu mp(P) song song với chỉ một đường sinh (h.54b);
c) Một đường hypebol nếu mp(P) song song với hai đường sinh (h.54c).
Sau đây ta giới thiệu một cách chứng minh cho trường hợp b).
Xét mặt nón tròn xoay N trục
Giả sử (P) là mặt phẳng song song với đúng một đường sinh l của N. Ta chứng minh giao của N và (P) là một parabol (h.55).
Gọi l’ là giao tuyến của mp(l,
Gọi (P’) là mặt phẳng chứa l và song song với (P) thì (P’) có chung với N đúng một đường thẳng là l nên (P’) chứa tiếp tuyến của (C ) tại A. Suy ra (P’) tiếp xúc với J tại A và (P) tiếp xúc với J tại F.
Mặt phẳng (Q) chứa (C ) cắt (P’) theo tiếp tuyến vừa nói nên cắt (P) theo đường thẳng d song song với tiếp tuyến đó ; suy ra d vuông góc với l’.
Với M là một điểm tùy ý thuộc N
Câu hỏi và bài tập
17. Trong mỗi trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay:
a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó;
b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
18. Cho điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) luôn nằm trên một mặt nón xác định.
19. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếpmặt cầu đó.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c) Cho một hình nón nội tiếp một mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu ? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
20. Một mặt cầu nội tiếp một hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó, hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.
21. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=c, AC=b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.
Nguồn: SƯU TẦM
