Chương II - Bài 5. Phép chiếu song song
1. Định nghĩa phép chiếu song song
Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt mp(P).
Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt mp(P) tại một điểm M’ nào đó (h.73).
Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng l gọi là phương chiếu; điểm M’ gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M qua phép chiếu song song nói trên.
Cho hình H. Tập hợp H’ gồm hình chiếu song song của tất cả các điểm thuộc H gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của hình H qua phép chiếu nói trên.
Bóng trên mặt đất phẳng của một vật chính là hình chiếu song song của vật ấy trên mặt đất (các tia sáng mặt trời được coi như song song với nhau).
2. Tính chất
Trong các tính chất dưới đây của phép chiếu song song theo phương l, ta chỉ xét hình chiếu song song của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng không song song và không trùng với l.
Tính chất 1
Chứng minh (h.74)
Xét phép chiếu song song lên mp(P) theo phương l. Giả sử a là một đường thẳng không song song và không trùng với l. Gọi M là một điểm bất kì của a và M’ là hình chiếu của nó. Vì MM’ song song (hoặc trùng) với l nên M’ nằm trên mp(Q) đi qua a và song song với l (hoặc chứa l). Mặt khác, M’ nằm trên mp(P). Vậy M’ nằm trên giao tuyến a’ của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ngược lại, dễ thấy mỗi điểm M’ nằm trên a’ là hình chiếu của một điểm M nằm trên a. Vậy hình chiếu của a chính là đường thẳng a’.
HỆ QUẢ
Từ việc chứng minh tính chất 1, ta thấy hình chiếu song song của đường thẳng a là giao tuyến của mặt phẳng chiếu (P) và mp(Q), trong đó (Q) là mặt phẳng đi qua a và song song với l hoặc chứa l. Do đó ta có
Tính chất 2 (h.75)
Tính chất 3
Tính chất 3 có nghĩa là: Nếu AB và CD là hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) có hình chiếu song song trên mp(P) là A’B’ và C’D’ thì
Hình 76 minh họa tính chất đó.
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Ở §1 của chương này, ta đã nêu ra một số quy tắc để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng. Các quy tắc ấy dựa trên định nghĩa sau đây
ĐỊNH NGHĨA
Như vậy, muốn vẽ đúng hình biểu diễn, ta phải áp dụng các tính chất nói trên của phép chiếu song song. Do đó, ngoài những quy tắc đã học trước đây (được suy từ các tính chất 1 và 2), ta cần lưu ý thêm quy tắc sau (suy từ tính chất 3):
CHÚ Ý
Phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của hai đoạn thẳng không nằm trên hai đường thảng song song (hay không cùng nằm trên một đường thẳng) và không giữ nguyên độ lớn của một góc. Từ đó suy ra nếu trên hình H có hai đoạn thẳng không nằm trên hai đường thẳng song song thì tỉ số của chúng không nhất thiết phải giữ nguyên trên hình biểu diễn. Cũng như vậy, độ lớn của một góc trên hình H không nhất thiết được giữ nguyên trên hình biểu diễn.
Hình biểu diễn của một đường tròn
Người ta chứng minh được rằng:
Vì vậy, ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn của đường tròn, tâm của elip biểu diễn cho tâm của đường tròn (h.79, h.80).
Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hãy dựng hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đó.
Cho một đường elip là hình biểu diễn của một đường tròn. Hãy vẽ hình biểu diễn của mỗi hình sau đây:
a) Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung đó của đường tròn.
b) Hai đường kính vuông góc của đường tròn.
c) Một tam giác đều nội tiếp đường tròn.
Vui một chút!
Câu hỏi và bài tập
a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau;
b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau;
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau;
d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau.
41. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau;
b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau;
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau;
d) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu song song của nó;
e) Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó;
f) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu song song của nó.
42. Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A’B’C’.
43. Vẽ hình biểu diễn của một tứ diện và trọng tâm mới của nó.
44. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn.
45. Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
46. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
47. Cho hình hộp ABCD.A[SUB]1[/SUB]B[SUB]1[/SUB]C[SUB]1[/SUB]D[SUB]1[/SUB]. Tìm điểm I trên đường chéo B[SUB]1[/SUB]D và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ // BC[SUB]1[/SUB]. Tính tỉ số
Nguồn: SƯU TẦM
