Hình 11_Nâng cao _Chương II_Bài 4. Hai mặt phẳng song song
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).
Như vậy khi cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q), có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau đây:
a) (P) và (Q) có điểm chung. Khi đó ta biết rằng (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng (h.61a).
b) (P) và (Q) không có điểm chung. Trong trường hợp này, ta nói chúng song song với nhau (hoặc song song) (h.61b) và kí hiệu (P) // (Q), hay (Q) // (P).
ĐỊNH NGHĨA
Trong thực tế, chúng ta thường gặp hình ảnh của những mặt phắng song song: các bậc cầu thang (h.62a), hai mặt đối diện của hộp diêm (h.62b), …
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với (Q).
Nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
Bây giờ, nếu chỉ biết trong mp(P) có hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mp(Q) thì (P) có song song với (Q) hay không? Định lí sau đây trả lời câu hỏi đó.
ĐỊNH LÍ 1
a) Hãy chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) không trùng nhau.
b) Giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Hãy chứng tỏ rằng a // c, b // c và do đó suy ra điều vô lí (h.63).
3. Tính chất
Ta biết rằng: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Bây giờ nếu ta thay cụm từ “đường thẳng” trong mệnh đề trên bởi cụm từ “mặt phẳng”, ta cũng có các tính chất tương tự như sau:
Tính chất 1
Chứng minh
Giả sử A là một điểm nằm ngoài mp(Q). Trên (Q), lấy hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau. Gọi a và b là hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau. Gọia và b là hai đường thẳng qua A và lần lượt song song với a’ và b’. Theo định lí 1, hai đường thẳng a và b xác định mp(P) song song với mp(Q)(h.64).
Giả sử (P’) cũng là một mặt phẳng qua A và song song với (Q). Khi đó, (P’) song song với a’ và b’, do đó (P’) phải chứa a và b. Vậy (P) và (P’) trùng nhau.
Từ tính chất trên, ta suy ra hai hệ quả sau (h.65)
HỆ QUẢ 1
HỆ QUẢ 2
Trả lời câu hỏi trên, ta được tính chất sau đây
Tính chất 2
4. Định lí Ta-lét (Thalès) trong không gian
Ở cấp THCS, các em đã học định lí Ta-lét trong mặt phẳng nói về những đường thẳng song song. Bây giờ chúng ta sẽ học một định lí nói về những mặt phẳng song song cũng mang tên nhà toán học Hy Lạp: Ta-lét. Định lí ấy được phát biểu như sau
ĐỊNH LÍ 2(Định lí Ta-lét)
Định lí trên có nghĩa là: Nếu ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ thì
Để chứng minh định lí, gọi
Ta thừa nhận định lí sau đây, thường gọi là định lí Ta-lét đảo.
ĐỊNH LÍ 3 (Định lí Ta-lét đảo)
Ví dụ
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự chạy trên các cạnh AD và BC sao cho
Giải(h.68)
Vì M, N lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AD và BC sao cho
5. Hình lăng trụ và hình hộp
Trong cuộc sống hàng ngày, ta thường gặp nhiều đồ dùng, vật thể có hình dạng hình lăng trụ hay hình hộp như: hộp diêm, hộp phấn, cây thước, quyển sách, …
Định nghĩa hình lăng trụ
Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song. Trên (P) cho đa giác
Mỗi hình bình hành nói trên gọi là một mặt bên của hình lăng trụ. Hai đa giác
Nếu đáy của hình lăng trụ là tam giác, tứ giác, ngũ giác thì lăng trụ tương ứng được gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác (h.70).
Sau đây, ta sẽ giới thiệu một dạng đặc biệt của hình lăng trụ, đó là hình hộp.
Như vậy, hình hộp có sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành (h.71). Mỗi mặt có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
Hình hộp có tám đỉnh, hai đỉnh của hình hộp gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng nằm trên một mặt nào. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của hình hộp.
Hình 71 cho ta thấy hình hộp
Hình hộp có mười hai cạnh chia làm ba nhóm, mỗi nhóm gồm có bốn cạnh song song và bằng nhau. Hai cạnh gọi là hai cạnh đối diện nếu chúng song song nhưng không cùng nằm trên bất kì một mặt nào của hình hộp.
Chứng tỏ rằng bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điểm cắt nhau đó gọi là tâm của hình hộp.
6. Hình chóp cụt
Định nghĩa
Cho hình chóp và
Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, …
Tính chất
Vì hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp nên ta dễ dàng suy ra tính chất sau đây
Câu hỏi và bài tập
29. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau;
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau;
c) Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia;
d) Nếu hai mặt phẳng song song thì mỗi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng kia;
e) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau;
f) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.
30. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Hình hộp là một hình lăng trụ;
b) Hình lăng trụ có tất cả các cạnh song song;
c) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau;
d) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành;
e) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau.
31. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh rằng có đúng hai mặt phẳng song song với nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng đó.
32. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Chứng minh rằng nếu điểm M không nằm trên (P) và không nằm trên (Q) thì có duy nhất một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b.
33. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, dđôi một song song với nhau và không nằm trên (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.
34. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Hỏi mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với cả AD và BC có đi qua trung điểm N củaCD không? Tại sao?
35. Cho hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho
36. Cho hình lăng trụ tam giác
a) Chứng minh rằng đường thẳng CB’ song song với mp(AHC’).
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh rằng d song song với mp(BB’C’C).
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi mp(H, d).
37. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng
a) mp(BDA’) // mp(B’D’C);
b) Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm
c)
d) Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B cùng nằm trên một mặt phẳng.
38. Chứng minh rằng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó.
39. Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, B’C’, C’A’. Chứng minh MNP.M’N’P’ là hình chóp cụt.
SƯU TẦM
