Hình 11: Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

[Thandieu2]

Hình 11_Nâng cao _Chương III_Bài 4 - Hai mặt phẳng vuông góc
​

1. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với (P) và (Q)(h.108).

​

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b không phụ thuộc vào cách lựa chọn chúng và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

ĐỊNH NGHĨA 1

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

1
Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?

​

Bây giờ, giả sử (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến

. Ta vẽ một mặt phẳng (R) vuông góc với

và gọi p, q lần lượt là giao tuyến của (R) với (P) và(R) với (Q). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa p và q.
Thật vậy, trong mp(R), xét các đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với p và q thì

và dễ thấy góc giữa hai đường thẳnga, b bằng góc giữa hai đường thẳng p, q (h.109). Như vậy ta có:
CHÚ Ý
Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến

, để tính góc giữa chúng, ta chỉ
việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với

, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến
p và q. Lúc đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q.

Ví dụ
Cho hình chóp S.ABC có

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Chứng minh rằng

ở đây kí hiệu

là diện tích tam giác ABC.

Giải(h.110)

​

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Do

. Suy ra

. Từ đó ta có

và

Từ đó ta có

Mở rộng kết quả của ví dụ trên, ta có định lí tổng quát sau đây:

ĐỊNH LÍ 1

2. Hai mặt phẳng vuông góc

ĐỊNH NGHĨA 2

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì ta còn nói gọn là hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc, kí hiệu

1

Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc (h.111). Hãy chỉ ra các đường thẳng lần lượt vuông góc với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) và từ đó suy ra các mặt phẳng ấy đôi một vuông góc.

​

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí dưới đây nói về một điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

ĐỊNH LÍ 2

Chứng minh(h.112)

​

Giả sử (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng a mà a vuông góc với mp(Q). Gọi H là giao điểm của a và (Q) thì H thuộc giao tuyến c của (P) và (Q). Trong (Q), kẻ đường thẳng b đi qua H và vuông góc với c. Khi đó, góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa a và b.

từ đó suy ra hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Ngược lại, nếu cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này có chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia hay không? Định lí 3 sau đây trả lời câu hỏi đó.

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

ĐỊNH LÍ 3

Chứng minh(h.112)

Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q),Hlà giao điểm của a và c. Trong mp(Q), kẻ đường thẳng b đi qua điểm H và vuông góc với c. Khi đó, góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa a và b. Vì

Như vậy, ta có đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b , c cắt nhau cùng thuộc(Q) , suy

Từ định lí 2 và định lí 3, ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau:

HỆ QUẢ 1 ( h.113)

​

Hệ quả 1 được viết gọn là:

HỆ QUẢ 2(h.114)

​

Hệ quả 2 được viết gọn là:

​

Từ định lí 2, ta nhận thấy nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì qua a có vô số mặt phẳng vuông góc với (P) (h.115). Vậy khi akhông vuông góc với (P) thì có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P) ?
Hệ quả sau sẽ trả lời câu hỏi đó.

HỆ QUẢ 3

2(Để chứng minh hệ quả 3)
Lấy điểm O thuộc a, dựng đường thẳng b đi qua điểm O và vuông góc với (P). Hãy chứng tỏ mp(a, b) chính là mp(Q) phải tìm (h.116).
Sử dụng hệ quả 2 để chứng minh tính duy nhất của mặt phẳng (Q).

​

3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
Trong chương II, ta đã nêu định nghĩa hình lăng trụ. Ở phần này, ta sẽ xét một số hình lăng trụ đặc biệt.

ĐỊNH NGHĨA 3|HÌNH VẼ|?2
Hình lăng trụ đứngLà hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy (h.117)|

|Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình gì? Các mặt bên của hình lăng trụ đứng có vuông góc với mặt đáy không?|​

Hình lăng trụ đều Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều (h.118)|

|Các mặt bên của hình lăng trụ đều có bằng nhau không?|
Hình hộp đứng Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành (h.119)|

|Hình hộp đứng có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?| Hình hộp chữ nhật Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật (h.120)|

| Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là những hình chữ nhật không? Ngược lại, một hình hộp mà sáu mặt của nó là hình chữ nhật có phải là hình hộp chữ nhật không? |
Hình lập phương Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau (h.121)|

|Hình hộp chữ nhật mà diện tích các mặt đều bằng nhau có phải là hình lập phương hay không? |

Bài toán
Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, b, c (a, b, c gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật)
Giải(h.122)

​

Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng

3
Độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh a bằng bao nhiêu?

4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

ĐỊNH NGHĨA 4

​

Ta biết rằng đối với một hình chóp bất kì, đường thẳng vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.

4
Các kết quả sau đây vẽ hình chóp đều có đúng không? Vì sao?
Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy (tâm của đa giác đều chính là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp đa giác đó).
Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

ĐỊNH NGHĨA 5

​

Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.

5
Tại sao trong hình chóp cụt đều, các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau?
Em có biết

Kim tự tháp Ai Cập

Nhiều kim tự tháp (từ Hán - Việt nghĩa là cái tháp hình chữ kim, tức là hình chóp) đã được xây dựng ở Ai Cập bắt đầu khoảng 2500 năm trước công nguyên. Các tháp đó là những ngôi mộ của vua, hoàng hậu, …
Kim tự tháp Kê-ốp (Chéops) (ở hình trên) là tháp lớn nhất. Nó được coi là một trong bảy kì quan của thế giới. Đó là một hình chóp tứ giác đều, đáy là một hình vuông có cạnh dài khoảng 230m, ngày xưa có chiều cao khoảng 147m, ngày nay chỉ còn cao 138m do bị xói mòn ở đỉnh. Trong hơn 400 năm, đó là kiến trúc cao nhất thế giới. Mãi đến thời Trung cổ mới có một số nhà thờ cao hơn. Tháp nặng khoảng 6 triệu tấn và được tạo thành bởi hơn 2 300 000 tảng đá.
Ở bên trong kim tự tháp Kê-ốp có “buồng của vua” dạng hình hộp chữ nhật, dài 20 “cánh tay”, rộng 10 ”cánh tay”, cao 11,18 “cánh tay” (“cánh tay” là đơn vị độ dài thời cổ, xấp xỉ 52,5cm). Số đo khá lẻ 11,18 này đã hấp dẫn các nhà khảo cứu: phải chăng có thể giải thích điều này khi tính độ dài đường chéo hình hộp và độ dài đường chéo mặt bên của hình hộp đó?

Câu hỏi và bài tập​

21. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau;
b) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau;
c) Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước;
d) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định;
f) Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng;
g) Hình chóp có đáy là đa giác đều và ba cạnh bên bằng nhau là hình chóp đều.

22. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu

thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không? Vì sao?

23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD)và (B’CD’).
b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và

, SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc .

25. Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến

. LấyA , B cùng thuộc

và lấy

sao cho

và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng

đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.

26. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau?
a) Tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối bằng nhau;
b) Tứ diện AB’CD’ có các cạnh đối vuông góc;
c) Tứ diện AB’CD’ là tứ diện đều.

27. Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính AB, IJ theo a và x.
b) Với giá trị nào của xthì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
28. Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là

; hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng

Hướng dẫn. Xét hai trường hợp:
a) Tam giác ABC có một cạnh song song hoặc nằm trong mp(P);
b) Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).

SƯU TẦM