Hình 11 - Chương III. Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài toán 1
Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Kí hiệu
Hãy chứng tỏ
Khi a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì ta nói rằng đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). Vậy ta có định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 1
Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với a hoặc a và (P) vuông góc với nhau, và kí hiệu a
Từ bài toán 1 và định nghĩa trên, ta có định lí sau nói về điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau.
ĐỊNH LÍ 1
Chứng tỏ rằng nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba, tức là phải chứng minh (h.98):
2. Các tính chất
Từ định nghĩa nêu trên, ta có các tính chất sau:
Tính chất 1
Tính chất 2
Nhận xét
Dễ thấy rằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC.
Trong chương II, ta đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kết hợp các tính chất nêu trên, ta có thể chứng minh được một số tính chất nói về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3 (h.102)
Tính chất 3 được viết gọn là:
Tính chất 4 (h.103)
Tính chất 4 được viết gọn là:
Nhận xét
Trong tính chất 3, nếu ta thay các cụm từ “mặt phẳng” thành “đường thẳng”, “đường thẳng” thành “mặt phẳng”, còn các từ khác giữ nguyên thì ta có tính chất 4.
Tính chất 5 (h.104)
Tính chất 5 được viết gọn là:
4. Định lí ba đường vuông góc
Phép chiếu vuông góc
Một trường hợp thường gặp của phép chiếu song song là phép chiếu vuông góc.
ĐỊNH NGHĨA 2
Vì phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song. Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Nếu H’ là hình chiếu vuông góc của hình H trên mp(P) thì ta cũng nói H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).
Định lí ba đường vuông góc
ĐỊNH LÍ 2
Chứng minh
Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên.
Nếu a không nằm trong (P) thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’ (h.105).
Vì b
Vậy nếu b
Ngược lại, nếu b
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Ta có định nghĩa sau (h.106)
ĐỊNH NGHĨA 3
Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90[SUP]0[/SUP].
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng MN // BD và SC
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) khi SA =
Giải (h.107)
1. a) Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN. Mặt khác, tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN song song với BD.
Ta có BC
Tương tự, AN
Vậy, SC
b) Do MN // BD mà BD
2. Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Mặt khác AC =
Câu hỏi và bài tập
13. Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Nếu a // ( P ) và b
b) Nếu a // ( P ) và b
c) Nếu a // ( P ) và b // a thì b // ( P ).
14. Cho điểm S có hình chiếu trên mp( P ) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H ), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.
b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn.
15. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện.
16. Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
a) Tính độ dài AD.
b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D.
17. Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.
b) Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng:
18. Cho hình chóp S.ABC có SA
a) AH, SK, BC đồng quy;
b) SC
c) HK
19. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng SG
b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).
20. a) Cho tứ diện ABCD có AB
b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương:
i) ABCD là tứ diện trực tâm.
ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii)
c) Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
Sưu tầm
