Hình 10: Bài 5: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

[Thandieu2]

Hình 10- Nâng cao - Chương 1. VECTƠ - Bài 5. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ


Bài 5. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ


​

Ở lớp 7, chúng ta đã làm quen với trục và hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc. Trong phần này, chúng ta sẽ nói kĩ hơn về các khái niệm đó.

1. Trục tọa độ
Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ

có độ dài bằng 1.

​

Điểm O gọi là gốc tọa độ, vectơ

gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Trục tọa độ như vậy được kí hiệu là (O;

). Ta lấy điểm I sao cho

, tia OI còn được kí hiệu là Ox, tia đối của tia Ox là Ox’. Khi đó trục (O;

) còn gọi là trục x’Ox hay trục Ox (h. 27).
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
Cho vectơ

nằm trên trục (O;

). Khi đó có số a xác định để

. Số a như thế gọi là tọa độ của vectơ

đối với trục (O;

).
Cho điểm M nằm trên trục (O;

). Khi đó có số m xác định để

. Số m như thế gọi là tọa độ của điểm m đối với trục (O;

)(cũng là tọa độ của vectơ

).

1.Trên trục Ox cho hai điểm A và B lần lượt có tọa độ là a và b. Tìm tọa độ của vectơ

và vectơ

. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB.

Độ dài số của vectơ trên trục
Nếu hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ

được kí hiệu là

và gọi là độ đài đại số của vectơ

trên trục Ox.
Như vậy

.
Từ định nghĩa trên ta suy ra các khẳng định sau đây: trên trục số,
1) Hai vectơ

và

bằng nhau khi và chỉ khi

(hiển nhiên).
2) Hệ thức

tương đương với hệ thức

(hệ thức Saclơ).
Thật vậy,

2. Hệ trục tọa độ
Trên hình 28, ta có một hệ trục tọa độ vuông góc. Nó bao gồm hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau.

​

Vectơ đơn vị trên trục Ox là

, vectơ đơn vị trên trục Oy là

.
Điểm O gọi là gốc tọa độ. Trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
Hệ trục tọa độ vuông góc như trên còn gọi đơn giản là hệ trục tọa độ và thường được kí hiệu là Oxy hay (O;

,

).

CHÚ Ý
Khi trong mặt phẳng đã cho (hay đã chọn) một hệ trục tọa độ, ta sẽ gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.

3. Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ

2.Quan sát hình 29. Hãy biểu thị mỗi vectơ

qua hai vectơ

dưới dạng

với x, y là hai số thực nào đó.

​

ĐỊNH NGHĨA
Đối với hệ trục tọa độ (O;

,

), nếu

thì cặp số (x ; y) được gọi là tọa độ của vectơ

, kí hiệu là

hay

. Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độcủa vectơ

.
?1. a) Tìm tọa độ của các vectơ

trên hình 29.
b) Đối với hệ trục tọa độ (O;

,

), hãy chỉ ra tọa độ của các vectơ .

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ, nghĩa là

4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Trong mục này ta nói về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ sau phép cộng, phép trừ vectơ và phép nhân vectơ với số.

3.Cho hai vectơ

và

.
a) Hãy biểu thị các vectơ

qua hai vectơ

.
b) Tìm tọa độ của các vectơ

.
Một cách tổng quát, ta có

?2. Mỗi cặp vectơ sau có cùng phương không?
a)

và

;
b)

và

;
c)

và

d)

và

5. Tọa độ của điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi điểm M được xác định hoàn toàn bởi vectơ

. Do vậy, nếu biết tọa độ của vectơ

thì điểm M sẽ được xác định. Vì lẽ đó người ta định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ

được gọi là tọa độ của điểm M.
Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi

= (x ; y). Khi đó ta viết M(x ; y) hoặc M = (x ; y).
Số x gọi là hoành độ của điểm M, số y gọi là tung độ của điểm M.
Nhận xét. (h. 30) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy. Khi đó, nếu M = (x ; y) thì

. Suy ra

hay

;

hay

.

​

Tổng quát, ta có

CHÚ Ý
Để thuận tiện, ta thường dùng kí hiệu (x[SUB]M[/SUB] ; y[SUB]M[/SUB]) để chỉ tọa độ của điểm M.

6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác

Câu hỏi và bài tập​

29. Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hai vectơ

và

bằng nhau.
b) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
c) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau.
d) Vectơ

cùng phương với vectơ

nếu

có hoành độ bằng 0.
e) Vectơ

có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với vectơ

.

30. Tìm tọa độ của các vectơ sau trong mặt phẳng tọa độ

31. Cho

.
a) Tìm tọa độ của vectơ

.
b) Tìm tọa độ của vectơ

sao cho

.
c) Tìm các số k, l để

.

32. Cho

.
Tìm các giá trị của k để hai vectơ

cùng phương.

33. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Tọa độ của điểm A bằng tọa độ của vectơ

, với O là gốc tọa độ.
b) Hoành độ của một điểm bằng 0 thì điểm đó nằm trên trục hoành.
c) Điểm A nằm trên trục tung thì A có hoành độ bằng 0.
d) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ điểm P bằng trung bình cộng các hoành độ của hai điểm A, B.
e) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi x[SUB]A[/SUB] + x[SUB]C[/SUB] = x[SUB]B[/SUB] + x[SUB]D[/SUB] và y[SUB]A[/SUB] + y[SUB]C[/SUB] = y[SUB]B[/SUB] + y[SUB]D[/SUB].

34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; -5).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.

35. Cho điểm M(x ; y). Tìm tọa độ của các điểm
a) M[SUB]1[/SUB] đối xứng với M qua trục Ox;
b) M[SUB]2[/SUB] đối xứng với M qua trục Oy;
c)M[SUB]3[/SUB] đối xứng với M qua gốc tọa độ O;

36. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD.
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành.

Sưu tầm