Tam giác ABC có 2 cạnh là AB,BC,CA có độ dài lần lượt là c , a , b .Gọi G là giao điểm 2 trung tuyến
Ta có ; Theo pitago
\[ AB^2 = AG^2 + BG^2 \]
hay\[ AB^2 = \frac{4}{9}.(AN^2+BM^2)\]
hay \[c^2 = \frac{4}{9}.({m_a}^2 + {m_b}^2) (1)\]
mặt khác ta có công thức đường trung tuyến
\[{m_a}^2 = \frac{b^2+c^2}{2} - \frac{a^2}{4}\]
\[{m_b}^2 = \frac{a^2+c^2}{2} - \frac{b^2}{4}\]
\[{m_c}^2 = \frac{b^2+a^2}{2} - \frac{c^2}{4}\]
Thay vào (1) ta được \[5c^2 = b^2+a^2 (2)\]
Mặt khác ta có công thức
\[CotA = \frac{b^2+c^2-a^2}{4S} \]
\[CotB = \frac{a^2+c^2-b^2}{4S} \]
\[CotC = \frac{b^2+a^2-c^2}{4S} \]
trong đó S là dien tich tam giac ABC
DO vậy : áp dụng (2) ta có
\[VP = CotC = \frac{b^2+a^2-c^2}{4S}= \frac{c^2}{S} (3) \]
\[VT = CotA+CotB = \frac{b^2+c^2-a^2}{4S} + \frac{a^2+c^2-b^2}{4S}= \frac{c^2}{2S}\] (4)
Từ (3) VÀ (4) => DPCM
